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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 3
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## 3: 運動学
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### 3.1: 質点
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1. 質点または剛体の並進運動の場合（積分 → グラフの下
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の面積）：
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$$
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\begin{gathered}
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\boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t}, \boldsymbol{x}=\int \boldsymbol{v} \mathrm{d} t\left(x=\int v_x \mathrm{~d} t \text { など }\right) \\
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\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t^2}, \boldsymbol{v}=\int \boldsymbol{a} \mathrm{d} t \\
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t=\int v_x^{-1} \mathrm{~d} x=\int a_x^{-1} \mathrm{~d} v_x, x=\int \frac{v_x}{a_x} \mathrm{~d} v_x
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\end{gathered}
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$$
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もし $a$ が定数ならば, これらの積分は簡単に求めるこ
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とができて, 例えば
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$$
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x=v_0 t+a t^2 / 2=\left(v^2-v_0^2\right) / 2 a \text {. }
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### 3.2: 回転運動
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2. 回転運動は, 並進運動と似ていて：
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$$
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\begin{aligned}
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\omega & =\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} t, \varepsilon=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t \\
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\boldsymbol{a} & =\boldsymbol{\tau} \mathrm{d} v / \mathrm{d} t+\boldsymbol{n} v^2 / R
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\end{aligned}
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$$
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### 3.3: 曲線運動
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3. 曲線運動は，ポイント 1 と同じだが，ベクトルは線速 度，加速度，経路長に置き換える.
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### 3.4: 剛体の運動
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4. 剛体の運動:
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- $v_A \cos \alpha=v_B \cos \beta$ ここで, $\boldsymbol{v}_A$ と $\boldsymbol{v}_B$ は剛体上の点 $A$ と $B$ の速度, $\alpha$ と $\beta$ は $\boldsymbol{v}_A$ と $\boldsymbol{v}_B$ が直線 $A B$ となす角.
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- 瞬間回転中心 (\#質点の軌道 の曲率中心）は, $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ に下ろした垂線の交点. 又は もし $\boldsymbol{v}_A, \boldsymbol{v}_B \perp A B$ ならば, $\boldsymbol{v}_A$ と $\boldsymbol{v}_B$ の先端を結ぶ 直線と $A B$ の交点.
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### 3.5: 非慣性系
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5. 非慣性系：
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$$
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\begin{array}{r}
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\quad \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{v}_0+\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{a}_0+\boldsymbol{a}_1+\omega^2 \boldsymbol{R}+\boldsymbol{a}_{C o r} \\
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\text { ここで, } \boldsymbol{a}_{C o r} \perp \boldsymbol{v}_1 . \text { もし } \boldsymbol{v}_1=0 \text { なら } \boldsymbol{a}_{C o r}=0 .
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\end{array}
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$$
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### 3.6: 弾道問題 <Badge type="tip" text="supplemental" />
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6. 弾道問題：到達可能な範囲は
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y \leq v_0^2 /(2 g)-g x^2 /\left(2 v_0^2\right)
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最適な弾道では, 初速度と終速（衝突時の速度）が垂直 になる.
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### 3.7: 最短経路
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7. 最短経路を求めるには，Fermat と Huygens の原理が 使える.
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### 3.8: ベクトル
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8. ベクトル（速度，加速度）を求めるには，その向きと （場合によっては傾いた）ある軸への射影を求めれば 充分.
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