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Formulas for IPhO 日本語版: Section 3

3: 運動学

3.1: 質点

1. 質点または剛体の並進運動の場合（積分 → グラフの下 の面積）：

   
   \begin{gathered}
   \boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t}, \boldsymbol{x}=\int \boldsymbol{v} \mathrm{d} t\left(x=\int v_x \mathrm{~d} t \text { など }\right) \\
   \boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t^2}, \boldsymbol{v}=\int \boldsymbol{a} \mathrm{d} t \\
   t=\int v_x^{-1} \mathrm{~d} x=\int a_x^{-1} \mathrm{~d} v_x, x=\int \frac{v_x}{a_x} \mathrm{~d} v_x
   \end{gathered}
   

   もし $a$ が定数ならば, これらの積分は簡単に求めるこ
   

   とができて, 例えば

   
   x=v_0 t+a t^2 / 2=\left(v^2-v_0^2\right) / 2 a \text {. }
   

3.2: 回転運動

2. 回転運動は, 並進運動と似ていて：

   
   \begin{aligned}
   \omega & =\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} t, \varepsilon=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t \\
   \boldsymbol{a} & =\boldsymbol{\tau} \mathrm{d} v / \mathrm{d} t+\boldsymbol{n} v^2 / R
   \end{aligned}
   

3.3: 曲線運動

3. 曲線運動は，ポイント 1 と同じだが，ベクトルは線速 度，加速度，経路長に置き換える.

3.4: 剛体の運動

4. 剛体の運動:
   • v_A \cos \alpha=v_B \cos \beta ここで, \boldsymbol{v}_A と \boldsymbol{v}_B は剛体上の点 A と B の速度, \alpha と \beta は \boldsymbol{v}_A と \boldsymbol{v}_B が直線 A B となす角.
   • 瞬間回転中心 (#質点の軌道 の曲率中心）は, \boldsymbol{a} と \boldsymbol{b} に下ろした垂線の交点. 又は もし \boldsymbol{v}_A, \boldsymbol{v}_B \perp A B ならば, \boldsymbol{v}_A と \boldsymbol{v}_B の先端を結ぶ 直線と A B の交点.

3.5: 非慣性系

5. 非慣性系：

   
   \begin{array}{r}
   \quad \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{v}_0+\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{a}_0+\boldsymbol{a}_1+\omega^2 \boldsymbol{R}+\boldsymbol{a}_{C o r} \\
   \text { ここで, } \boldsymbol{a}_{C o r} \perp \boldsymbol{v}_1 . \text { もし } \boldsymbol{v}_1=0 \text { なら } \boldsymbol{a}_{C o r}=0 .
   \end{array}
   

3.6: 弾道問題

6. 弾道問題：到達可能な範囲は

   
   y \leq v_0^2 /(2 g)-g x^2 /\left(2 v_0^2\right)
   

   最適な弾道では, 初速度と終速（衝突時の速度）が垂直 になる.
   

3.7: 最短経路

7. 最短経路を求めるには，Fermat と Huygens の原理が 使える.

3.8: ベクトル

8. ベクトル（速度，加速度）を求めるには，その向きと （場合によっては傾いた）ある軸への射影を求めれば 充分.