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Formulas for IPhO 日本語版: Section 12

12: Kepler の法則

12.1: F & U

1. F=G M m / r^2, U=-G M m / r \text {. }

12.2: Kepler の第一法則

2. Kepler の第一法則 (2 質点の重力相互作用)：それぞ れの軌道は，系の質量中心に焦点を持つ楕円，双曲線, 放物線になる. これは Runge-Lenz ベクトルから得ら れる (ポイント 9).

12.3: Kepler の第二法則

3. Kepler の第二法則（角運動量の保存）: 中心力が働く 場にある質点について，その位置ベクトルは単位時間 に一定の面積を描く.

12.4: Kepler の第三法則

4. Kepler の第三法則 : r^{-2} に比例する力が働く場で楕円 軌道を描く複数の質点について, 周期は長半径の \frac{3}{2} 乗 に比例する :

   $
   T_1^2 / T_2^2=a_1^3 / a_2^3
   

12.5: 楕円軌道

5. 重力場中で楕円軌道を描く質点の全エネルギー (K+U) :

   $
   E=-G M m / 2 a
   

12.6: 楕円率

1. 楕円率が \varepsilon=d / a \ll 1 の場合, 軌道は焦点をずらし た円形をしていると考えられる.

12.7: 楕円の性質

2. 楕円の性質 : l_1+l_2=2 a （ l_1 と l_2 は焦点までの距 離). \alpha_1=\alpha_2 (一方の焦点から出た光は他方の焦点に 反射する). S=\pi a b.

12.8: 円の中心

3. 円とその円の中心に焦点をもつ楕円は長軸の部分での み接する.

12.9: nge-Lenz ベクトル

4. Runge-Lenz ベクトル（楕円率ベクトル）[訳者注：こ のベクトルはむしろ離心率と関係する.そこでここで は離心率ベクトルとして知られるベクトルを代わりに 記す.これは焦点から近日点に向かう向きで，大きさ が離心率 e に一致する.]：

   $
   \boldsymbol{e}=\frac{\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{M}}{G M m}-\boldsymbol{e}_r=\text { const. }