andatoshiki/toshiki-notebook
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Formulas for IPhO 日本語版: Section 8

8: 電気回路

8.1: V=I R, P=V I

  1. V=I R, P=V I 
    $
R_{\text {直列 }}=\sum R_i, R_{\text {並列 }}^{-1}=\sum R_i^{-1}

8.2: Kirchhoff の法則

  1. Kirchhoff の法則 : 
    $
\sum_{\substack{\text { 節点 }}} I=0, \sum_{\text {閉路 }} V=0

8.3: ポイント 2 の方程式を減らすために

  1. ポイント 2 の方程式を減らすために: 節点電位法. ルー プ電流法. 等価回路 (3 端子の場合 \Rightarrow \triangle 又 又 Y の形, 起電力のある 2 端子の場合 \Rightarrow 抵抗と電池の直列)

8.4: 無限につながる抵抗

  1. 無限につながる抵抗 : 無限に続く格子の隣り合う節点 間で，自己相似性を使う。鏡像法の一般化された方法.

8.5: 交流回路

  1. 交流回路: R を Z に置き換えてポイント 1 \sim 4 を用 いる. 
    $
\begin{gathered}
Z_R=R, Z_C=1 / i \omega C, Z_L=i \omega L \\
\varphi=\arg Z, V_{\text {eff }}=|Z| I_{\text {eff }} \\
P=|V||I| \cos (\arg Z)=\sum I_i^2 R_i
\end{gathered}

8.6: 特性時間

  1. 特性時間: \tau_{R C}=R C, \tau_{L R}=L / R . \omega_{L C}= 1 / \sqrt{L C}. 定常的な電流分布への緩和は指数関数的で \propto e^{-t / \tau}

8.7: 電気回路のエネルギー保存則

  1. 電気回路のエネルギー保存則 : \Delta W+Q=q V. ここ で q は電圧降下 V を通った電気量で, 電源のする仕事 は A=q V_{\mathrm{emf}}

8.8: コンデンサーの位置エネルギー式

  1. コンデンサーの位置エネルギー式: W_C=C V^2 / 2, W_L=L I^2 / 2.

8.9: 磁束密度

  1. V_{\mathrm{emf}}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t=\mathrm{d}(L I) / \mathrm{d} t, \Phi=B S.

8.10: 非線形素子

  1. 非 線形素子: V-I グラフでの非線形曲線と Ohm/Kirchhoff の法則を表す直線との交点として 为形的に解を求める. 複数の交点があれば安定性を調 ベる. いくつかの解は普通安定でない.

8.11: 短時間と長時間の極限を利用

  1. 短時間と長時間の極限を利用する: t_{\text {observation }} \gg \tau_{R C} or \tau_{L R} ならば, I_C \approx 0(C は断線している）又 は V_L \approx 0 ( L は短絡している）のような準平衡状態に 達する. t_{\text {observation }} \ll \tau_{R C} or \tau_{L R} ならば, C の電 気量の変化や L での電流の変化は小さく, \Delta Q \ll Q や \Delta I \ll I. 即ち C は短絡していて L は断線して いる.

8.12: 推論

  1. L \neq 0 ならば, I(t) は連続.

8.13: 超電導の回路

  1. 超電導の回路について, 磁束 \Phi= const.. 特に, 外部 磁場が無ければ L I= const.

8.14: 相互誘導

  1. 相互誘導 : 回路 1 を通る磁束は \Phi_1=L_1 I_1+L_{12} I_2 ( I_2 は回路 2 を流れる電流) で, L_{12}=L_{21} \equiv M と M \leq \sqrt{L_1 L_2} が成立.