toshiki-notebook/docs/academic/physics/ipho-formulas-jpn/9.md

Formulas for IPhO 日本語版: Section 9

9: 電磁気学

9.1: Coulomb の法則

1. F=k q_1 q_2 / r^2, U=k q_1 q_2 / r で, Kepler の法則が 使える (Section 12 参照).

9.2: Gauss の法則

2. Gauss の法則 : \oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0,

   $
   \oint \varepsilon \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=Q, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-4 \pi G M
   

9.3: 循環定理

3. 循環定理 :

   $
   \oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0(=\dot{\Phi}), \oint \frac{\boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mu}=I, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0
   

9.4: 電流素片により生じる磁束密度

4. 電流素片により生じる磁束密度 :

   $
   \mathrm{d} \boldsymbol{B}=\frac{\mu I}{4 \pi} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e}_r}{r^2} .
   

   したがって電流 $I$ が流れる円形回路の中心では $B=\frac{\mu_0 I}{2 r}$.
   

9.5: ローレンツ力

5. \boldsymbol{F}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}), \boldsymbol{F}=\boldsymbol{I} \times \boldsymbol{B} l.

9.6: Gauss の定理と循環定理より

6. Gauss の定理と循環定理より：帯電した導線について E=\frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0 r}, 電流が流れる導線について B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}. 帯電した面について E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}, 電流が流れる面につい て B=\frac{\mu_0 i}{2}. 一様に帯電した球殼（又は無限に長い円 筒）の内部で E=0, 軸に沿って表面に電流が流れる 円筒の内部で B=0. 密度 \rho で一様に帯電, 又は一様 な電流 \boldsymbol{i} が流れる, 球 (d=3) / 円柱 (d-2) / 平面 (d=1) の内部で,

   $
   \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon d} \boldsymbol{r}, \boldsymbol{B}=\frac{1}{\mu d} \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{r}
   

9.7: 長いソレノイド

7. 長いソレノイド: 内部で B=\mu n I, 外部で B=0. 磁束 \Phi=N B S\left(n=\frac{N}{l}\right). インダクタンス L= \Phi / I=\mu n^2 V. 短いソレノイド : B_{\|}=\frac{\mu n I \Omega}{4 \pi}(\Omega は 立体角).

9.8: 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する

9. 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する： q= \int \frac{V}{R} \mathrm{~d} t=N S \Delta B / R.

9.9: 静電場のエネルギー

9. 静電場のエネルギー：

   
   U=k \sum_{i<j} \frac{q_i q_j}{r_{i j}}=\frac{1}{2} \int \phi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} q, \mathrm{~d} q=\rho(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} V
   

9.10: 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力

10. 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力 : 帯電による力を静水圧による力に置き換える.

9.11: 全ての電荷

12. 全ての電荷が距離 r にある場合（例えば，不均一に帯 電した球やリングの中心） \phi \phi=k Q / r

9.12: 外部電荷

13. 外部電荷によって引き起こされる正味の電荷（又は電 位）を求めるには, 電荷を「出現」させて問題を対称的 にし，重ね合わせの原理を用いる.

9.14: 導体

14. 導体は電荷や電場を遮蔽する．例えば，中空の球体の 内部の電荷分布は外から見えない（あたかも Q という 電荷を持った導電性の球があるように見える).

9.15: 静電容量

15. 静電容量: C=\varepsilon S / d (平板), 4 \pi \varepsilon r (球), 2 \pi \varepsilon l(\ln R / r)^{-1} (同軸円筒).

9.16: 双極子モーメント

16. 双極子モーメント：

    
    \boldsymbol{p}_e=\sum q_i \boldsymbol{r}_i=q \boldsymbol{d}, \boldsymbol{p}_\mu=I \boldsymbol{S}
    

9.17: 双極子場

17. 双極子場 : \phi=k \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{e}_r / r^2, E, B \propto r^{-3}

9.18: 双極子に働く力

19. 双極子に働く力 : F=\left(\boldsymbol{p}_e \cdot \boldsymbol{E}\right)^{\prime}, F=\left(\boldsymbol{p}_\mu \cdot \boldsymbol{B}\right)^{\prime} [訳 者注 : ここの微分はむしろ \operatorname{grad} である]. 2 つの双極 子間の相互作用 : F \propto r^{-4}.

9.19: 磁気双極子としての点電荷

19. 磁気双極子としての点電荷 : p_\mu \propto \Phi \propto v_{\perp}^2 / B は断熱 不変量 (Section 4: #22 参照).

9.20: 鏡像法

20. 鏡像法 : 接地された（磁石の場合は超電導の）平面が鏡 の役割をする. 接地された（又は孤立した）球体の場 は, 球体の内部にある 1 つ（又は 2 つ）の架空の電荷 のつくる場として求められる. 平面導波管（金属板の 間のスリット）内の場は, 電磁平面波の重ね合わせと して求められる.

9.21: 一様（電）場中の球 (円柱) の分極

21. 一様（電）場中の球 (円柱) の分極 : (+\rho と -\rho に一 様に帯電した球 (円柱) の重ね合わせで， d \propto E.

9.22: 渦電流

22. 渦電流: 電流損失密度 \approx B^2 v^2 / \rho .1 回の通過で与え られる運動量 : F \tau \approx B^2 a^3 d / \rho (ここで d は厚さ, a は大きさ).