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Formulas for IPhO 日本語版: Section 1

1: 数学

1.1: Taylor 展開

1. Taylor 展開（アバウトに切り捨てる:

   
   F(x)=F\left(x_{0}\right)+\sum F^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n} / n
   

   線形近似（特別な場合）:

   
   F(x) \approx F\left(x_{0}\right)+F^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)
   

   |x| \ll 1 のときの例 :

   
   \sin x \approx x, \cos x \approx 1-x^{2} / 2, e^{x} \approx 1+x
   

   
   \ln (1+x) \approx x,(1+x)^{n} \approx 1+n x
   

1.2: 摂動法

2. 摂動法：摂動のない（直接解ける）問題の解を 0 番目の近似値として求め，前の似値に基づく次の近似値の補正を繰り返して解を求める．

1.3: 定数係数線形微分方程式

3. 定数係数線形微分方程式 a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 の解:

   
   y=A \exp \left(\lambda_1 x\right)+B \exp \left(\lambda_2 x\right) \text {. }
   

   ここで \lambda_{1,2} は特性方程式 a \lambda^2+b \lambda+c=0 の異な る 2 解. もし a, b, c が実数で特性方程式の解が複素数 \lambda_{1,2}=\gamma \pm i \omega ならば,

   
   y=C e^{\gamma x} \sin \left(\omega x+\varphi_0\right)
   

1.4: 複素数

4. 複素数

   
   \begin{gathered}
   z=a+b i=|z| e^{i \varphi}, \bar{z}=a-b i=|z| e^{-i \varphi} \\
   |z|^2=z \bar{z}=a^2+b^2, \varphi=\arg z=\arcsin \frac{b}{|z|} \\
   \operatorname{Re} z=(z+\bar{z}) / 2, \operatorname{Im} z=(z-\bar{z}) / 2 i \\
   \left|z_1 z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|, \arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2 \\
   e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \\
   \cos \varphi=\frac{e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}}{2}, \sin \varphi=\frac{e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}}{2 i}
   \end{gathered}
   

1.5: ベクトルの内積と外積

5. ベクトルの内積と外積は分配法則が成立する : a(b+c)=a b+a c

   
   \begin{gathered}
   \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}=a_x b_x+a_y b_y+\cdots=a b \cos \varphi \\
   |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=a b \sin \varphi, \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \\
   \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(a_y b_z-a_z b_y\right) \boldsymbol{e}_x+\left(a_z b_x-a_x b_z\right) \boldsymbol{e}_y+\cdots \\
   \boldsymbol{a} \times[\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}
   \end{gathered}
   

   スカラー三重積（3 つのベクトルで張られる平行四面 体の体積）:

   
   (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \equiv \boldsymbol{a} \cdot[\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}] \cdot \boldsymbol{c}=(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a})
   

1.6: 余弦定理と正弦定理

6. 余弦定理と正弦定理：

   
   \begin{aligned}
   & c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C \\
   & a / \sin A=b / \sin B=2 R
   \end{aligned}
   

1.7: 三角法

7. 
   \begin{aligned}
   & \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\
   & \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\
   & \tan (\alpha \pm \beta)=(\tan \alpha \pm \tan \beta) /(1 \mp \tan \alpha \tan \beta) \\
   & \cos ^2 \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}, \sin ^2 \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \\
   & \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2}, \ldots \\
   & \cos \alpha+\cos \beta=2\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}+\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\right), \ldots
   \end{aligned}
   

1.8: 円周角

8. 円周角は中心角の半分. よって，直角三角形の斜辺は その外接円の直径. もし四角形の対角の和が 180 度な らば，それは円に内接する.

1.9: 三角形の面樍

9. 三角形の面樍 =\frac{1}{2} a h_a=p r=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=a b c / 4 R

1.10: 重心

10. 三角形の重心は，中線の交点で，中線を 2:1 に内分する.\

1.11: ベクトルアプローチ

1. 幾何の問題へのベクトルアプローチ.

1.12: 微分

12. 微分:

    
    \begin{gathered}
    (f g)^{\prime}=f^{\prime} g+f g^{\prime}, f[g(x)]^{\prime}=f^{\prime}[g(x)] g^{\prime}(x) \\
    (\sin x)^{\prime}=\cos x,(\cos x)^{\prime}=-\sin x \\
    \left(e^x\right)^{\prime}=e^x,(\ln x)^{\prime}=1 / x,\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1} \\
    (\arctan x)^{\prime}=1 /\left(1+x^2\right) \\
    (\arcsin x)^{\prime}=-(\arccos x)^{\prime}=1 / \sqrt{1-x^2}
    \end{gathered}
    

1.13: 積分

13. 積分：微分の公式の左辺と右辺を入れ替えたものと同 じ（逆演算）.例えば,

    
    \int x^n \mathrm{~d} x=x^{n+1} /(n+1) .
    

    置換積分の特別な場合 :
    

    
    \int f(a x+b) \mathrm{d} x=F(a x+b) / a .
    

1.14: 円錐曲線

14. 円錐曲線: a_{11} x^2+2 a_{12} x y+a_{22} y^2+a_1 x+a_2 y+a_0= 0 で, a_{11}=a_{22} ならば円, a_{11}\left(a_{11} a_{22}-a_{12}^2\right)>0 ならば楕円, \cdots<0 ならば双曲線, a_{11} a_{22}-a_{12}^2=0 ならば放物線. 楕円 : l_1+l_2=2 a, \alpha_1=\alpha_2 [訳 者注 : 焦点と曲線上の点を結ぶ直線と接線とのなす角 ], A=\pi a b. 双曲線 : l_1-l_2=2 a, \alpha_1+\alpha_2=0. 放物線 : l+h= const., \alpha_1=\alpha_2.

1.15: 数值計算 & 台形規則

15. 数值計算. f(x)=0 の解を求めるニュートン法 :

    
    x_{n+1}=x_n-f\left(x_n\right) / f^{\prime}\left(x_n\right)
    

    近似積分の台形規則：
    

    
    \begin{array}{r}
    \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{b-a}{2 n}\left[f\left(x_0\right)+2\left\{f\left(x_1\right)+\cdots\right.\right.
    \left.\left.+f\left(x_{n-1}\right)\right\}+f\left(x_n\right)\right]
    \end{array}
    

1.16: ベクトルの微分 & 積分

16. ベクトルの微分と積分：成分ごとに微分/積分する．あるいは無限に近い$2$つのベクトルの差を求めることで 微分す.