Formulas for IPhO 日本語版: Section 13

13: 相対性理論

13.1:Lorentz 変換

Lorentz 変換 (Minkowski 幾何学の 4 次元時空の回転）(慣性系間の速度が \left.\boldsymbol{V}=V \boldsymbol{e}_x\right): \beta=V / c, \gamma=

$
\begin{aligned}
& 1 / \sqrt{1-\beta^2} \text { として, } \\
& \qquad c t^{\prime}=\gamma(c t-\beta x), x^{\prime}=\gamma(x-\beta c t), y^{\prime}=y \\
& E^{\prime} / c=\gamma\left(E / c-\beta p_x\right), p_x^{\prime}=\gamma\left(p_x-\beta E / c\right), p_y^{\prime}=p_y \\
& \text { ここで, } \\
& E=\frac{m c^2}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}=m c^2+\frac{1}{2} m v^2+\cdots \\
& p_x=\frac{m v_x}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}, \text { etc. }
\end{aligned}

13.2: 4 元ベクトルの長

4 元ベクトルの長さ (スカラー量であり Lorentz 変換で不変）:

$
\begin{aligned}
s^2 & =(c t)^2-x^2-y^2-z^2 \\
(m c)^2 & =(E / c)^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2
\end{aligned}

13.3: 速度の加算

速度の加算 :

$
v_x=\frac{v_x^{\prime}+V}{1+v_x^{\prime} V / c^2}, v_y=\frac{v_y^{\prime}}{\gamma\left(1+v_x^{\prime} V / c^2\right)}

13.4: Doppler 効果

Doppler 効果 :

$
\nu=\gamma(1+\beta \cos \theta) \nu_0

13.5: Minkowski 空間

Minkowski 空間は, 時間が虚数（ (t i c t) であれば Euclid 空間にすることができる. 回転角 \varphi に対して, \tan \varphi=v / i c となり, \sin \varphi, \cos \varphi を \tan \varphi で表して Euclid 幾何学の公式を適用する (Lorentz 変換).

13.6: 長さの縮み

長さの縮み : l^{\prime}=l_0 / \gamma.

13.7: 時間の遅れ

時間の遅れ: t^{\prime}=t_0 \gamma.

13.8: 同時刻の相対性

同時刻の相対性 : \Delta t=-\gamma v \Delta x / c^2.

13.9: F=dp/dt

\boldsymbol{F}=\mathrm{d} \boldsymbol{p} / \mathrm{d} t\left(=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\gamma m \boldsymbol{v})\right)( ここでの \gamma= \left.1 / \sqrt{1-v^2 / c^2}\right)

13.10: 超相対論的極限

超相対論的極限 : v \approx c, p \approx m c, \sqrt{1-(v / c)^2} \approx \sqrt{2(1-v / c)}

13.11: 電場と磁場の Lorentz 変換

電場と磁場の Lorentz 変換 : \boldsymbol{E}_{\|}^{\prime}=\boldsymbol{E}_{\|}, \boldsymbol{B}_{\|}^{\prime}=\boldsymbol{B}_{\|},


\begin{gathered}
\boldsymbol{E}_{\perp}^{\prime} / c=\gamma\left(\boldsymbol{E}_{\perp} / c+\boldsymbol{v} / c \times \boldsymbol{B}_{\perp}\right), \\
\boldsymbol{B}_{\perp}^{\prime}=\gamma\left(\boldsymbol{B}_{\perp}-\boldsymbol{v} / c \times \boldsymbol{E}_{\perp} / c\right)
\end{gathered}

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