Formulas for IPhO 日本語版: Section 5

5. 振動と波

減衰振動：

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\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_0^2 x=0(\gamma<\omega)

この方程式の解は ((Section 1: #3)[1#_1-3-定数係数線形微分方程式] 参照) :

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x=x_0 e^{-\gamma t} \sin \left(t \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}-\varphi_0\right)

N 個の連成振動の系は, すべての振動子が同じ振動数 \omega_i で x_j=x_{j 0} \sin \left(\omega_i t+\varphi_{i j}\right) のように振動するという固有モードを N 個持つ. 固有振動数 \omega_i も N 個持つ (一致するかもしれない, \omega_i=\omega_j ). 一般解 (2 N 個の積分定数 X_i, \phi_i を持つ) は全ての固有振動の重ね合わせ :
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x_j=\sum_i X_i x_{j 0} \sin \left(\omega_i t+\varphi_{i j}+\phi_i\right)
```

一般化座標 \xi ((Section 4: #4)[4#_4-4-一般化座標] 参照) で表され K=\mu \dot{\xi}^2 / 2 である系は, \xi=0 の点で平衡. 小さな振動について U(\xi) \approx \kappa \xi^2 / 2 (ここで \left.\kappa=U^{\prime \prime}(0)\right) であり \omega^2=\kappa / \mu.

x, t での波の位相は \varphi=k x-\omega t+\varphi_0 で, k=2 \pi / \lambda は波数. x, t での值は a_0 \cos \varphi=\operatorname{Re} a_0 e^{i \varphi}. 位相速度は v_f=\nu \lambda=\omega / k で，群速度は v_g=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} k.

線形波（電磁波, 小振幅の音波や水面波）の場合, どんなパルス波も正弦波の重ね合わせとして表せる. 定常波は 2 つの逆向きに進む同じ波の合成 :
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e^{i(k x-\omega t)}+e^{i(-k x-\omega t)}=2 e^{-i \omega t} \cos k t
```

気体中の音速 :

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c_s=\sqrt{(\partial p / \partial \rho)_{\text {断熱 }}}=\sqrt{\gamma p / \rho}=\sqrt{\gamma \overline{v^2} / 3}

Huygens の原理 : 波面は段階的に構成される. 過去の波面のすべての点に仮想的な波源を置く. 結果は距離 \Delta x=c_s \Delta t で区切られた曲線（ここで \Delta t は時間間隔， c_s は与えられた点の速度). 波は波面に垂直に進む.