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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 12
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## 12: Kepler の法則
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### 12.1: F & U
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1. $F=G M m / r^2, U=-G M m / r \text {. }$
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### 12.2: Kepler の第一法則
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2. Kepler の第一法則 (2 質点の重力相互作用)：それぞ れの軌道は，系の質量中心に焦点を持つ楕円，双曲線, 放物線になる. これは Runge-Lenz ベクトルから得ら れる (ポイント 9).
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### 12.3: Kepler の第二法則
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3. Kepler の第二法則（角運動量の保存）: 中心力が働く 場にある質点について，その位置ベクトルは単位時間 に一定の面積を描く.
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### 12.4: Kepler の第三法則
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4. Kepler の第三法則 $: r^{-2}$ に比例する力が働く場で楕円 軌道を描く複数の質点について, 周期は長半径の $\frac{3}{2}$ 乗 に比例する :
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$$
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T_1^2 / T_2^2=a_1^3 / a_2^3
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### 12.5: 楕円軌道
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5. 重力場中で楕円軌道を描く質点の全エネルギー $(K+U)$ :
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E=-G M m / 2 a
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$$
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### 12.6: 楕円率
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1. 楕円率が $\varepsilon=d / a \ll 1$ の場合, 軌道は焦点をずらし た円形をしていると考えられる.
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### 12.7: 楕円の性質
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2. 楕円の性質 $: l_1+l_2=2 a （ l_1$ と $l_2$ は焦点までの距 離). $\alpha_1=\alpha_2$ (一方の焦点から出た光は他方の焦点に 反射する). $S=\pi a b$.
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### 12.8: 円の中心
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3. 円とその円の中心に焦点をもつ楕円は長軸の部分での み接する.
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### 12.9: nge-Lenz ベクトル <Badge type="tip" text="supplemental" />
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4. Runge-Lenz ベクトル（楕円率ベクトル）[訳者注：こ のベクトルはむしろ離心率と関係する.そこでここで は離心率ベクトルとして知られるベクトルを代わりに 記す.これは焦点から近日点に向かう向きで，大きさ が離心率 $e$ に一致する.]：
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$$
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\boldsymbol{e}=\frac{\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{M}}{G M m}-\boldsymbol{e}_r=\text { const. }
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