# Formulas for IPhO 日本語版: Section 3

## 3: 運動学

### 3.1: 質点

1.  質点または剛体の並進運動の場合（積分 → グラフの下
    の面積）：
    $$
    \begin{gathered}
    \boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t}, \boldsymbol{x}=\int \boldsymbol{v} \mathrm{d} t\left(x=\int v_x \mathrm{~d} t \text { など }\right) \\
    \boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t^2}, \boldsymbol{v}=\int \boldsymbol{a} \mathrm{d} t \\
    t=\int v_x^{-1} \mathrm{~d} x=\int a_x^{-1} \mathrm{~d} v_x, x=\int \frac{v_x}{a_x} \mathrm{~d} v_x
    \end{gathered}
    $$
    もし $a$ が定数ならば, これらの積分は簡単に求めるこ
    とができて, 例えば
    $$
    x=v_0 t+a t^2 / 2=\left(v^2-v_0^2\right) / 2 a \text {. }
    $$

### 3.2: 回転運動

2.  回転運動は, 並進運動と似ていて：
    $$
    \begin{aligned}
    \omega & =\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} t, \varepsilon=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t \\
    \boldsymbol{a} & =\boldsymbol{\tau} \mathrm{d} v / \mathrm{d} t+\boldsymbol{n} v^2 / R
    \end{aligned}
    $$

### 3.3: 曲線運動

3.  曲線運動は，ポイント 1 と同じだが，ベクトルは線速 度，加速度，経路長に置き換える.

### 3.4: 剛体の運動

4.  剛体の運動:
    -   $v_A \cos \alpha=v_B \cos \beta$ ここで, $\boldsymbol{v}_A$ と $\boldsymbol{v}_B$ は剛体上の点 $A$ と $B$ の速度, $\alpha$ と $\beta$ は $\boldsymbol{v}_A$ と $\boldsymbol{v}_B$ が直線 $A B$ となす角.
    -   瞬間回転中心 (\#質点の軌道 の曲率中心）は, $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ に下ろした垂線の交点. 又は もし $\boldsymbol{v}_A, \boldsymbol{v}_B \perp A B$ ならば, $\boldsymbol{v}_A$ と $\boldsymbol{v}_B$ の先端を結ぶ 直線と $A B$ の交点.

### 3.5: 非慣性系

5.  非慣性系：
    $$
    \begin{array}{r}
    \quad \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{v}_0+\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{a}_0+\boldsymbol{a}_1+\omega^2 \boldsymbol{R}+\boldsymbol{a}_{C o r} \\
    \text { ここで, } \boldsymbol{a}_{C o r} \perp \boldsymbol{v}_1 . \text { もし } \boldsymbol{v}_1=0 \text { なら } \boldsymbol{a}_{C o r}=0 .
    \end{array}
    $$

### 3.6: 弾道問題 <Badge type="tip" text="supplemental" />

6.  弾道問題：到達可能な範囲は
    $$
    y \leq v_0^2 /(2 g)-g x^2 /\left(2 v_0^2\right)
    $$
    最適な弾道では, 初速度と終速（衝突時の速度）が垂直 になる.

### 3.7: 最短経路

7.  最短経路を求めるには，Fermat と Huygens の原理が 使える.

### 3.8: ベクトル

8.  ベクトル（速度，加速度）を求めるには，その向きと （場合によっては傾いた）ある軸への射影を求めれば 充分.