# Formulas for IPhO 日本語版: Section 5

## 5. 振動と波

### 5.1: 減衰振動

1. 減衰振動：
    $$
    \ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_0^2 x=0(\gamma<\omega)
    $$
    この方程式の解は ((Section 1: #3)[1#_1-3-定数係数線形微分方程式] 参照) :
    $$
    x=x_0 e^{-\gamma t} \sin \left(t \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}-\varphi_0\right)
    $$

### 5.2: 連成振動の式

2. 連成振動の式 : $\ddot{x}_i=\sum_j a_{i j} x_j$

### 5.3: 連成振動の系

3. $N$ 個の連成振動の系は, すべての振動子が同じ振動数 $\omega_i$ で $x_j=x_{j 0} \sin \left(\omega_i t+\varphi_{i j}\right)$ のように振動するとい う固有モードを $N$ 個持つ. 固有振動数 $\omega_i も N$ 個持 つ (一致するかもしれない, $\omega_i=\omega_j$ ). 一般解 $(2 N$ 個の積分定数 $X_i, \phi_i$ を持つ) は全ての固有振動の重ね 合わせ :

    $$
    x_j=\sum_i X_i x_{j 0} \sin \left(\omega_i t+\varphi_{i j}+\phi_i\right)
    $$

### 5.4: 一般化座標

4. 一般化座標 $\xi$ ((Section 4: #4)[4#_4-4-一般化座標] 参照) で表され $K=\mu \dot{\xi}^2 / 2$ である系は, $\xi=0$ の点で平衡. 小さな振動につ いて $U(\xi) \approx \kappa \xi^2 / 2$ (ここで $\left.\kappa=U^{\prime \prime}(0)\right)$ であり $\omega^2=\kappa / \mu$.

### 5.5: 波の位相

5. $x, t$ での波の位相は $\varphi=k x-\omega t+\varphi_0$ で, $k=2 \pi / \lambda$ は波数. $x, t$ での值は $a_0 \cos \varphi=\operatorname{Re} a_0 e^{i \varphi}$. 位相速 度は $v_f=\nu \lambda=\omega / k$ で， 群速度は $v_g=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} k$.

### 5.6: 線形波

6. 線形波（電磁波, 小振幅の音波や水面波）の場合, どん なパルス波も正弦波の重ね合わせとして表せる. 定常 波は 2 つの逆向きに進む同じ波の合成 :

    $$
    e^{i(k x-\omega t)}+e^{i(-k x-\omega t)}=2 e^{-i \omega t} \cos k t
    $$

### 5.7: 気体中の音速

7. 気体中の音速 :

    $$
    c_s=\sqrt{(\partial p / \partial \rho)_{\text {断熱 }}}=\sqrt{\gamma p / \rho}=\sqrt{\gamma \overline{v^2} / 3}
    $$

### 5.8: 弾性体中の音速

8. 弾性体中の音速は $c_s=\sqrt{E / \rho}$.

### 5.9: 浅水波

9.  浅水波 $(h \ll \lambda)$ の速さ: $v=\sqrt{g h}$. 弦の場合： $v=\sqrt{T / \rho_{l i n}}$.

### 5.10: Doppler 効果

10. Doppler 効果 : $\nu=\nu_0 \frac{1+v_{\|} / c_s}{1-u_{\|} / c_s}$.

### 5.11: Huygens の原理

11. Huygens の原理 : 波面は段階的に構成される. 過去 の波面のすべての点に仮想的な波源を置く. 結果は距 離 $\Delta x=c_s \Delta t$ で区切られた曲線（ここで $\Delta t$ は時間 間隔， $c_s$ は与えられた点の速度). 波は波面に垂直に 進む.