# Formulas for IPhO 日本語版: Section 9

## 9: 電磁気学

### 9.1: Coulomb の法則

1. $F=k q_1 q_2 / r^2, U=k q_1 q_2 / r$ で, Kepler の法則が 使える ([Section 12 参照](12.md)).

### 9.2: Gauss の法則

2. Gauss の法則 : $\oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$,

    $$
    \oint \varepsilon \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=Q, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-4 \pi G M
    $$

### 9.3: 循環定理

3. 循環定理 :

    $$
    \oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0(=\dot{\Phi}), \oint \frac{\boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mu}=I, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0
    $$

### 9.4: 電流素片により生じる磁束密度

4. 電流素片により生じる磁束密度 :
    $$
    \mathrm{d} \boldsymbol{B}=\frac{\mu I}{4 \pi} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e}_r}{r^2} .
    $$
    したがって電流 $I$ が流れる円形回路の中心では $B=\frac{\mu_0 I}{2 r}$.

### 9.5: ローレンツ力

5. $\boldsymbol{F}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}), \boldsymbol{F}=\boldsymbol{I} \times \boldsymbol{B} l$.

### 9.6: Gauss の定理と循環定理より

6. Gauss の定理と循環定理より：帯電した導線について $E=\frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0 r}$, 電流が流れる導線について $B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$. 帯電した面について $E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$, 電流が流れる面につい て $B=\frac{\mu_0 i}{2}$. 一様に帯電した球殼（又は無限に長い円 筒）の内部で $E=0$, 軸に沿って表面に電流が流れる 円筒の内部で $B=0$. 密度 $\rho$ で一様に帯電, 又は一様 な電流 $\boldsymbol{i}$ が流れる, 球 $(d=3) /$ 円柱 $(d-2) /$ 平面 $(d=1)$ の内部で,
    $$
    \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon d} \boldsymbol{r}, \boldsymbol{B}=\frac{1}{\mu d} \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{r}
    $$

### 9.7: 長いソレノイド

7. 長いソレノイド: 内部で $B=\mu n I$, 外部で $B=0$. 磁束 $\Phi=N B S\left(n=\frac{N}{l}\right)$. インダクタンス $L=$ $\Phi / I=\mu n^2 V$. 短いソレノイド $: B_{\|}=\frac{\mu n I \Omega}{4 \pi}(\Omega$ は 立体角).

### 9.8: 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する

9. 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する： $q=$ $\int \frac{V}{R} \mathrm{~d} t=N S \Delta B / R$.

### 9.9: 静電場のエネルギー

9.  静電場のエネルギー：
    $$
    U=k \sum_{i<j} \frac{q_i q_j}{r_{i j}}=\frac{1}{2} \int \phi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} q, \mathrm{~d} q=\rho(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} V
    $$

### 9.10: 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力

10. 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力 : 帯電による力を静水圧による力に置き換える.

### 9.11: 全ての電荷

12. 全ての電荷が距離 $r$ にある場合（例えば，不均一に帯 電した球やリングの中心） $\phi \phi=k Q / r$

### 9.12: 外部電荷

13. 外部電荷によって引き起こされる正味の電荷（又は電 位）を求めるには, 電荷を「出現」させて問題を対称的 にし，重ね合わせの原理を用いる.

### 9.14: 導体

14. 導体は電荷や電場を遮蔽する．例えば，中空の球体の 内部の電荷分布は外から見えない（あたかも $Q$ という 電荷を持った導電性の球があるように見える).

### 9.15: 静電容量

15. 静電容量: $C=\varepsilon S / d$ (平板), $4 \pi \varepsilon r$ (球), $2 \pi \varepsilon l(\ln R / r)^{-1}$ (同軸円筒).

### 9.16: 双極子モーメント

16. 双極子モーメント：

    $$
    \boldsymbol{p}_e=\sum q_i \boldsymbol{r}_i=q \boldsymbol{d}, \boldsymbol{p}_\mu=I \boldsymbol{S}
    $$

### 9.17: 双極子場

17. 双極子場 : $\phi=k \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{e}_r / r^2, E, B \propto r^{-3}$

### 9.18: 双極子に働く力

19. 双極子に働く力 : $F=\left(\boldsymbol{p}_e \cdot \boldsymbol{E}\right)^{\prime}, F=\left(\boldsymbol{p}_\mu \cdot \boldsymbol{B}\right)^{\prime}$ [訳 者注 : ここの微分はむしろ $\operatorname{grad}$ である]. 2 つの双極 子間の相互作用 $: F \propto r^{-4}$.

### 9.19: 磁気双極子としての点電荷

19. 磁気双極子としての点電荷 : $p_\mu \propto \Phi \propto v_{\perp}^2 / B$ は断熱 不変量 ([Section 4: #22](4#_4-22-断熱不変量) 参照).

### 9.20: 鏡像法

20. 鏡像法 : 接地された（磁石の場合は超電導の）平面が鏡 の役割をする. 接地された（又は孤立した）球体の場 は, 球体の内部にある 1 つ（又は 2 つ）の架空の電荷 のつくる場として求められる. 平面導波管（金属板の 間のスリット）内の場は, 電磁平面波の重ね合わせと して求められる.

### 9.21: 一様（電）場中の球 (円柱) の分極

21. 一様（電）場中の球 (円柱) の分極 : $(+\rho$ と $-\rho$ に一 様に帯電した球 (円柱) の重ね合わせで， $d \propto E$.

### 9.22: 渦電流

22. 渦電流: 電流損失密度 $\approx B^2 v^2 / \rho .1$ 回の通過で与え られる運動量 : $F \tau \approx B^2 a^3 d / \rho$ (ここで $d$ は厚さ, $a$ は大きさ).