# Formulas for IPhO 日本語版: Section 13

## 13: 相対性理論

### 13.1:Lorentz 変換

1. Lorentz 変換 (Minkowski 幾何学の 4 次元時空の回 転）(慣性系間の速度が $\left.\boldsymbol{V}=V \boldsymbol{e}_x\right): \beta=V / c, \gamma=$

    $$
    \begin{aligned}
    & 1 / \sqrt{1-\beta^2} \text { として, } \\
    & \qquad c t^{\prime}=\gamma(c t-\beta x), x^{\prime}=\gamma(x-\beta c t), y^{\prime}=y \\
    & E^{\prime} / c=\gamma\left(E / c-\beta p_x\right), p_x^{\prime}=\gamma\left(p_x-\beta E / c\right), p_y^{\prime}=p_y \\
    & \text { ここで, } \\
    & E=\frac{m c^2}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}=m c^2+\frac{1}{2} m v^2+\cdots \\
    & p_x=\frac{m v_x}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}, \text { etc. }
    \end{aligned}
    $$

### 13.2: 4 元ベクトルの長

2. 4 元ベクトルの長さ (スカラー量であり Lorentz 変換 で不変）:
    $$
    \begin{aligned}
    s^2 & =(c t)^2-x^2-y^2-z^2 \\
    (m c)^2 & =(E / c)^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2
    \end{aligned}
    $$

### 13.3: 速度の加算

3. 速度の加算 :
    $$
    v_x=\frac{v_x^{\prime}+V}{1+v_x^{\prime} V / c^2}, v_y=\frac{v_y^{\prime}}{\gamma\left(1+v_x^{\prime} V / c^2\right)}
    $$

### 13.4: Doppler 効果

4. Doppler 効果 :
    $$
    \nu=\gamma(1+\beta \cos \theta) \nu_0
    $$

### 13.5: Minkowski 空間

5. Minkowski 空間は, 時間が虚数（ $(t i c t)$ であれば Euclid 空間にすることができる. 回転角 $\varphi$ に対して, $\tan \varphi=v / i c$ となり, $\sin \varphi, \cos \varphi$ を $\tan \varphi$ で表して Euclid 幾何学の公式を適用する (Lorentz 変換).

### 13.6: 長さの縮み

6. 長さの縮み : $l^{\prime}=l_0 / \gamma$.

### 13.7: 時間の遅れ

7. 時間の遅れ: $t^{\prime}=t_0 \gamma$.

### 13.8: 同時刻の相対性

8. 同時刻の相対性 : $\Delta t=-\gamma v \Delta x / c^2$.

### 13.9: F=dp/dt

9.  $\boldsymbol{F}=\mathrm{d} \boldsymbol{p} / \mathrm{d} t\left(=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\gamma m \boldsymbol{v})\right)($ ここでの $\gamma=$ $\left.1 / \sqrt{1-v^2 / c^2}\right)$

### 13.10: 超相対論的極限

10. 超相対論的極限 $: v \approx c, p \approx m c, \sqrt{1-(v / c)^2} \approx$ $\sqrt{2(1-v / c)}$

### 13.11: 電場と磁場の Lorentz 変換 <Badge type="tip" text="supplemental" />

11. 電場と磁場の Lorentz 変換 : $\boldsymbol{E}_{\|}^{\prime}=\boldsymbol{E}_{\|}, \boldsymbol{B}_{\|}^{\prime}=\boldsymbol{B}_{\|}$,
    $$
    \begin{gathered}
    \boldsymbol{E}_{\perp}^{\prime} / c=\gamma\left(\boldsymbol{E}_{\perp} / c+\boldsymbol{v} / c \times \boldsymbol{B}_{\perp}\right), \\
    \boldsymbol{B}_{\perp}^{\prime}=\gamma\left(\boldsymbol{B}_{\perp}-\boldsymbol{v} / c \times \boldsymbol{E}_{\perp} / c\right)
    \end{gathered}
    $$
