# Formulas for IPhO 日本語版: Section 1

## 1: 数学

### 1.1: Taylor 展開

1.  Taylor 展開（アバウトに切り捨てる:

    $$
    F(x)=F\left(x_{0}\right)+\sum F^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n} / n
    $$

    線形近似（特別な場合）:

    $$
    F(x) \approx F\left(x_{0}\right)+F^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)
    $$

    $|x| \ll 1$ のときの例 $:$

    $$
    \sin x \approx x, \cos x \approx 1-x^{2} / 2, e^{x} \approx 1+x
    $$

    $$
    \ln (1+x) \approx x,(1+x)^{n} \approx 1+n x
    $$

### 1.2: 摂動法

2.  摂動法：摂動のない（直接解ける）問題の解を $0$ 番目の近似値として求め，前の似値に基づく次の近似値の補正を繰り返して解を求める．

### 1.3: 定数係数線形微分方程式

3.  定数係数線形微分方程式 $a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ の解:

    $$
    y=A \exp \left(\lambda_1 x\right)+B \exp \left(\lambda_2 x\right) \text {. }
    $$

    ここで $\lambda_{1,2}$ は特性方程式 $a \lambda^2+b \lambda+c=0$ の異な る 2 解. もし $a, b, c$ が実数で特性方程式の解が複素数 $\lambda_{1,2}=\gamma \pm i \omega$ ならば,

    $$
    y=C e^{\gamma x} \sin \left(\omega x+\varphi_0\right)
    $$

### 1.4: 複素数

4.  複素数

    $$
    \begin{gathered}
    z=a+b i=|z| e^{i \varphi}, \bar{z}=a-b i=|z| e^{-i \varphi} \\
    |z|^2=z \bar{z}=a^2+b^2, \varphi=\arg z=\arcsin \frac{b}{|z|} \\
    \operatorname{Re} z=(z+\bar{z}) / 2, \operatorname{Im} z=(z-\bar{z}) / 2 i \\
    \left|z_1 z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|, \arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2 \\
    e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \\
    \cos \varphi=\frac{e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}}{2}, \sin \varphi=\frac{e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}}{2 i}
    \end{gathered}
    $$

### 1.5: ベクトルの内積と外積

5.  ベクトルの内積と外積は分配法則が成立する : $a(b+c)=a b+a c$

    $$
    \begin{gathered}
    \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}=a_x b_x+a_y b_y+\cdots=a b \cos \varphi \\
    |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=a b \sin \varphi, \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \\
    \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(a_y b_z-a_z b_y\right) \boldsymbol{e}_x+\left(a_z b_x-a_x b_z\right) \boldsymbol{e}_y+\cdots \\
    \boldsymbol{a} \times[\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}
    \end{gathered}
    $$

    スカラー三重積（3 つのベクトルで張られる平行四面 体の体積）:

    $$
    (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \equiv \boldsymbol{a} \cdot[\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}] \cdot \boldsymbol{c}=(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a})
    $$

### 1.6: 余弦定理と正弦定理

6.  余弦定理と正弦定理：
    $$
    \begin{aligned}
    & c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C \\
    & a / \sin A=b / \sin B=2 R
    \end{aligned}
    $$

### 1.7: 三角法

7.  $$
    \begin{aligned}
    & \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\
    & \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\
    & \tan (\alpha \pm \beta)=(\tan \alpha \pm \tan \beta) /(1 \mp \tan \alpha \tan \beta) \\
    & \cos ^2 \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}, \sin ^2 \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \\
    & \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2}, \ldots \\
    & \cos \alpha+\cos \beta=2\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}+\cos \frac{\alpha-\beta}{2}\right), \ldots
    \end{aligned}
    $$

### 1.8: 円周角

8.  円周角は中心角の半分. よって，直角三角形の斜辺は その外接円の直径. もし四角形の対角の和が 180 度な らば，それは円に内接する.

### 1.9: 三角形の面樍

9.  三角形の面樍 $=\frac{1}{2} a h_a=p r=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=a b c / 4 R$

### 1.10: 重心

10. 三角形の重心は，中線の交点で，中線を 2:1 に内分する.\

### 1.11: ベクトルアプローチ <Badge type="tip" text="supplemental" />

1.  幾何の問題へのベクトルアプローチ.

### 1.12: 微分

12. 微分:
    $$
    \begin{gathered}
    (f g)^{\prime}=f^{\prime} g+f g^{\prime}, f[g(x)]^{\prime}=f^{\prime}[g(x)] g^{\prime}(x) \\
    (\sin x)^{\prime}=\cos x,(\cos x)^{\prime}=-\sin x \\
    \left(e^x\right)^{\prime}=e^x,(\ln x)^{\prime}=1 / x,\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1} \\
    (\arctan x)^{\prime}=1 /\left(1+x^2\right) \\
    (\arcsin x)^{\prime}=-(\arccos x)^{\prime}=1 / \sqrt{1-x^2}
    \end{gathered}
    $$

### 1.13: 積分

13. 積分：微分の公式の左辺と右辺を入れ替えたものと同 じ（逆演算）.例えば,
    $$
    \int x^n \mathrm{~d} x=x^{n+1} /(n+1) .
    $$
    置換積分の特別な場合 :
    $$
    \int f(a x+b) \mathrm{d} x=F(a x+b) / a .
    $$

### 1.14: 円錐曲線

14. 円錐曲線: $a_{11} x^2+2 a_{12} x y+a_{22} y^2+a_1 x+a_2 y+a_0=$ 0 で, $a_{11}=a_{22}$ ならば円, $a_{11}\left(a_{11} a_{22}-a_{12}^2\right)>0$ ならば楕円, $\cdots<0$ ならば双曲線, $a_{11} a_{22}-a_{12}^2=0$ ならば放物線. 楕円 : $l_1+l_2=2 a, \alpha_1=\alpha_2$ [訳 者注 : 焦点と曲線上の点を結ぶ直線と接線とのなす角 ], $A=\pi a b$. 双曲線 : $l_1-l_2=2 a, \alpha_1+\alpha_2=0$. 放物線 $: l+h=$ const., $\alpha_1=\alpha_2$.

### 1.15: 数值計算 & 台形規則

15. 数值計算. $f(x)=0$ の解を求めるニュートン法 :
    $$
    x_{n+1}=x_n-f\left(x_n\right) / f^{\prime}\left(x_n\right)
    $$
    近似積分の台形規則：
    $$
    \begin{array}{r}
    \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{b-a}{2 n}\left[f\left(x_0\right)+2\left\{f\left(x_1\right)+\cdots\right.\right.
    \left.\left.+f\left(x_{n-1}\right)\right\}+f\left(x_n\right)\right]
    \end{array}
    $$

### 1.16: ベクトルの微分 & 積分

16. ベクトルの微分と積分：成分ごとに微分/積分する．あるいは無限に近い$2$つのベクトルの差を求めることで 微分す.
