# Formulas for IPhO 日本語版: Section 8

## 8: 電気回路

### 8.1: V=I R, P=V I

1. $V=I R, P=V I$
    $$
    R_{\text {直列 }}=\sum R_i, R_{\text {並列 }}^{-1}=\sum R_i^{-1}
    $$

### 8.2: Kirchhoff の法則

2. Kirchhoff の法則 :
    $$
    \sum_{\substack{\text { 節点 }}} I=0, \sum_{\text {閉路 }} V=0
    $$

### 8.3: ポイント 2 の方程式を減らすために

3. ポイント 2 の方程式を減らすために: 節点電位法. ルー プ電流法. 等価回路 (3 端子の場合 $\Rightarrow \triangle 又$ 又 $Y$ の形, 起電力のある 2 端子の場合 $\Rightarrow$ 抵抗と電池の直列)

### 8.4: 無限につながる抵抗

4. 無限につながる抵抗 : 無限に続く格子の隣り合う節点 間で，自己相似性を使う。鏡像法の一般化された方法.

### 8.5: 交流回路

5. 交流回路: $R$ を $Z$ に置き換えてポイント $1 \sim 4$ を用 いる.
    $$
    \begin{gathered}
    Z_R=R, Z_C=1 / i \omega C, Z_L=i \omega L \\
    \varphi=\arg Z, V_{\text {eff }}=|Z| I_{\text {eff }} \\
    P=|V||I| \cos (\arg Z)=\sum I_i^2 R_i
    \end{gathered}
    $$

### 8.6: 特性時間

6. 特性時間: $\tau_{R C}=R C, \tau_{L R}=L / R . \omega_{L C}=$ $1 / \sqrt{L C}$. 定常的な電流分布への緩和は指数関数的で $\propto e^{-t / \tau}$

### 8.7: 電気回路のエネルギー保存則

8. 電気回路のエネルギー保存則 : $\Delta W+Q=q V$. ここ で $q$ は電圧降下 $V$ を通った電気量で, 電源のする仕事 は $A=q V_{\mathrm{emf}}$

### 8.8: コンデンサーの位置エネルギー式

8. コンデンサーの位置エネルギー式:
   $W_C=C V^2 / 2, W_L=L I^2 / 2$.

### 8.9: 磁束密度

9. $V_{\mathrm{emf}}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t=\mathrm{d}(L I) / \mathrm{d} t, \Phi=B S$.

### 8.10: 非線形素子

10. 非 線形素子: $V-I$ グラフでの非線形曲線と Ohm/Kirchhoff の法則を表す直線との交点として 为形的に解を求める. 複数の交点があれば安定性を調 ベる. いくつかの解は普通安定でない.

### 8.11: 短時間と長時間の極限を利用

11. 短時間と長時間の極限を利用する: $t_{\text {observation }} \gg$ $\tau_{R C}$ or $\tau_{L R}$ ならば, $I_C \approx 0(C$ は断線している）又 は $V_L \approx 0$ ( $L$ は短絡している）のような準平衡状態に 達する. $t_{\text {observation }} \ll \tau_{R C}$ or $\tau_{L R}$ ならば, $C$ の電 気量の変化や $L$ での電流の変化は小さく, $\Delta Q \ll Q$ や $\Delta I \ll I$. 即ち $C$ は短絡していて $L$ は断線して いる.

### 8.12: 推論

12. $L \neq 0$ ならば, $I(t)$ は連続.

### 8.13: 超電導の回路

13. 超電導の回路について, 磁束 $\Phi=$ const.. 特に, 外部 磁場が無ければ $L I=$ const.

### 8.14: 相互誘導

14. 相互誘導 : 回路 1 を通る磁束は $\Phi_1=L_1 I_1+L_{12} I_2$ ( $I_2$ は回路 2 を流れる電流) で, $L_{12}=L_{21} \equiv M$ と $M \leq \sqrt{L_1 L_2}$ が成立.
