# Formulas for IPhO 日本語版: Section 4

## 4: 力学

### 4.1: 剛体の二次元的な平衡

1.  剛体の二次元的な平衡 : 力についての 2 つの式とトル クについての 1 つの式. 1 （又は 2 ）個の力についての 式は 1（又は 2）個のトルクについての式で代用でき る. トルクの方が良い場合が多く，原点を適切に選択 することで「退屈な」力を消すことができる. もし 2 点 のみに力がかかっているならば，（正味の）力がかかっ ている直線は一致する. 3 点であれば, 3 つの直線は 1 点で交わる.

### 4.2: 垂直抗力

2.  垂直抗力と摩擦力は 1 つの力に合成でき, 垂直抗力に 対して $\arctan \mu$ の角度で接触点に加わる.

### 4.3: 並進運動と回転運動

3.  並進運動と回転運動についての Newton の第二法則：
    $$
    \boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}, \boldsymbol{M}=I \boldsymbol{\varepsilon} \quad(\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F})
    $$
    二次元の場合には $M$ と $\varepsilon$ は本質的にスカラーで, $M=F l=F_t r(l$ は力のうでの長さ $)$

### 4.4: 一般化座標

4.  一般化座標. 系の状態が 1 つの変数 $\xi$ とその時間微分 $\dot{\xi}$ で表され，ポテンシャルエネルギーが $U=U(\xi)$, 運動エネルギーが $K=\mu \xi^2 / 2$ であるならば, $\mu \ddot{\xi}=$ $-\mathrm{d} U(\xi) / \mathrm{d} \xi$. (したがって並進運動では, 力はポテン シャルエネルギーの微分)

### 4.5: 系質点

5.  系が質点 $m_i$ で構成されているとき：
    $$
    \begin{aligned}
    & \boldsymbol{r}_c=\sum m_i \boldsymbol{r}_i / \sum m_j, \boldsymbol{P}=\sum m_i \boldsymbol{v}_i \\
    & \boldsymbol{L}=\sum m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{v}_i, K=\sum m_i v_i^2 / 2 \\
    & I_z=\sum m_i\left(x_i^2+y_i^2\right)=\int\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} m \\
    &
    \end{aligned}
    $$

### 4.6: 質量中心の速度

6.  質量中心の速度が $\boldsymbol{v}_c$ であるような系 (添え字 $c$ は質量 中心についての物理量であることを示す）:
    $$
    \begin{gathered}
    \boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}_c+M_{\Sigma} \boldsymbol{R}_c \times \boldsymbol{v}_c, K=K_c+M_{\Sigma} v_c^2 / 2 \\
    \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}_c+M_{\Sigma} \boldsymbol{v}_c .
    \end{gathered}
    $$

### 4.7: Steiner 定理

7.  Steiner の定理（平行軸の定理）も同じような形で は質量中心の回転軸からの距離）:
    $$
    I=I_c+m b^2
    $$

### 4.8: ポイント 6

8.  ポイント 6 の $\boldsymbol{P}$ と $\boldsymbol{L}$ を用いて, Newton の第二法則 :
    $$
    \boldsymbol{F}_{\Sigma}=\mathrm{d} \boldsymbol{P} / \mathrm{d} t, \boldsymbol{M}_{\Sigma}=\mathrm{d} \boldsymbol{L} / \mathrm{d} t
    $$

### 4.9: ポイント 5

9.  ポイント 5 にに加えて，質量中心を通る $z$ 軸に対する慣性モ一メントは $I_{z 0}=$ $\sum_{i, j} m_i m_j\left[\left(x_i-x_j\right)^2+\left(y_i-y_j\right)^2\right] /\left(2 M_{\Sigma}\right)$

### 4.10: 原点に対する慣性

10. 原点に対する慣性モ一メント $\theta=\sum m_i r_i^2$ は, $2 \theta=I_x+I_y+I_z$ を用いることで二次元物体や等 方性のある物体の $I_z$ を計算するのに有用.

### 4.11: 相当単振子の長

11. 相当単振子の長さが $\tilde{l}$ である物理振子 :
    $$
    \begin{aligned}
    & \omega^2(l)=g /\left(l+I_c / m l\right) \\
    & \omega(l)=\omega(\tilde{l}-l)=\sqrt{g / \tilde{l}}, \quad \tilde{l}=l+I_c / m l \\
    &
    \end{aligned}
    $$

### 4.12: 慣性モーメントの係数

12. 慣性モーメントの係数 : 円柱 $\frac{1}{2}$, 球 $\frac{2}{5}$, 球殼 $\frac{2}{3}$, 棒 $\frac{1}{12}$ （端に対しては $\frac{1}{3}$ ), 正方形 $\frac{1}{6}$.

### 4.13: よく使われる保存則

13. よく使われる保存則：エネルギー（弾性衝突，摩擦な し), 運動量（正味の外力なし, 各方向について成立), 角運動量（正味の外トルクなし, 例えば, 外力のうでの 長さが 0 (これが 2 又は 3 点のまわりに成り立てば運 動量保存で代用できる))

### 4.14: 非慣性系における見かけの力

14. 非慣性系における見かけの力 : 慣性力 $-m a$, 遠心力 $m \omega^2 \boldsymbol{R}$, Coriolis 力 $2 m \boldsymbol{v} \times \Omega$ (避けた方がよい. 速 度に垂直なので仕事はしない).

### 4.15: 傾いた座標

15. 傾いた座標：斜面上での運動については, 斜面に平行 と垂直な方向に軸をとるのがよい。このとき重力加速 度は $x$ 成分と $y$ 成分をもつ. 軸は斜交することもある が, $\boldsymbol{v}=v_x \boldsymbol{e}_x+v_y \boldsymbol{e}_y$ のとき $v_x$ は $\boldsymbol{v}$ の $x$ 軸への射 影ではない.

### 4.16: 2 つの物体の衝突

16. 2 つの物体の衝突 : 保存されるのは, a) 全運動量, b) 全角運動量，c) 一方の物体の衝突点に関する角運動量, d) 全エネルギー（弾性衝突の場合， 摩擦がある場合 は, 摩擦力に垂直な方向の運動エネルギーが保存される. e) 衝突中に滑りが止まったならば，接触点の最終 速度は接触面上にある. f) 滑りが止まらなかったなら ば, 一方の物体から他方に伝わる運動量は, 接触面の 法線と $\arctan \mu$ の角度をなす.

### 4.17: 剛体のすべての運動

17. 剛体のすべての運動は (物体の各点の速度を見ると) 瞬 間回転中心 $C$ まわりの回転として表せる. 物体上の点 $P$ の $C$ からの距離は $P$ の軌跡の曲率半径とは異なる ことに注意せよ.

### 4.18: 紐の張力

18. 紐の張力：重さのある吊り紐では, 張力の水平成分は 一定で垂直成分は下にある紐の重さにより変わる. 滑 らかな面の上の紐による（単位長さあたりの）力は，そ の曲率半径と張力で決まり, $N=T / R$. 似た場合と して, 表面張力による圧力は $p=2 \sigma / R$. 導出には直 径に沿った圧力を調ベる.

### 4.19: 液体の表面

19. 液体の表面は（表面張力を無視すれば）等ポテンシャ ル面になる. 非圧縮性流体では, $w$ をポテンシャルエ ネルギーの体積密度として, $p=P_0-w$.

### 4.20: 非圧縮性流体に対する Bernoulli の法則

20. 非圧縮性流体に対する Bernoulli の法則：
    $$
    p+\frac{1}{2} \rho v^2+\rho \phi=\text { const. }
    $$
    一様な重力場では $\phi=g h$. 比熱が $c_p[\mathrm{~J} / \mathrm{kg}]$ である気 体では,
    $$
    \frac{1}{2} v^2+c_p T=\text { const. }
    $$

### 4.21: 直線的な流線 <Badge type="tip" text="supplemental" />

21. 直線的な流線に沾う運動量の連続性 : $p+\rho v^2=$ const.

### 4.22: 断熱不変量 <Badge type="tip" text="supplemental" />

22. 断熱不変量 : 振動する系の 1 周期の間のパラメータの 相対的な変化が小さければ，位相空間（ $x-p$ 座標で表さ れる）上に書かれるループの面積は非常に高い精度で 保存される.

### 4.23: 安定性

23. 安定性を調ベるには, a) ポテンシャルエネルギー最小 の原理，又は b) 仮想仕事の原理を用いる.

### 4.24: 空間的に有限な運動に対する Virial 定理 <Badge type="tip" text="supplemental" />

24. 空間的に有限な運動に対する Virial 定理：a) もし $F \propto|\boldsymbol{r}|$ ならば $\langle K\rangle=\langle U\rangle$ (時間平均). b) もし $F \propto|\boldsymbol{r}|^{-2}$ ならば $2\langle K\rangle=-\langle U\rangle$.

### 4.25: Tsiolkovsky 公式

25. Tsiolkovsky の公式（ロケット）: $\Delta v=u \ln \frac{M}{m}$
