# Formulas for IPhO 日本語版: Section 12

## 12: Kepler の法則

### 12.1: F & U

1. $F=G M m / r^2, U=-G M m / r \text {. }$

### 12.2: Kepler の第一法則

2. Kepler の第一法則 (2 質点の重力相互作用)：それぞ れの軌道は，系の質量中心に焦点を持つ楕円，双曲線, 放物線になる. これは Runge-Lenz ベクトルから得ら れる (ポイント 9).

### 12.3: Kepler の第二法則

3. Kepler の第二法則（角運動量の保存）: 中心力が働く 場にある質点について，その位置ベクトルは単位時間 に一定の面積を描く.

### 12.4: Kepler の第三法則

4. Kepler の第三法則 $: r^{-2}$ に比例する力が働く場で楕円 軌道を描く複数の質点について, 周期は長半径の $\frac{3}{2}$ 乗 に比例する :
    $$
    T_1^2 / T_2^2=a_1^3 / a_2^3
    $$

### 12.5: 楕円軌道

5. 重力場中で楕円軌道を描く質点の全エネルギー $(K+U)$ :
    $$
    E=-G M m / 2 a
    $$

### 12.6: 楕円率

1. 楕円率が $\varepsilon=d / a \ll 1$ の場合, 軌道は焦点をずらし た円形をしていると考えられる.

### 12.7: 楕円の性質

2. 楕円の性質 $: l_1+l_2=2 a （ l_1$ と $l_2$ は焦点までの距 離). $\alpha_1=\alpha_2$ (一方の焦点から出た光は他方の焦点に 反射する). $S=\pi a b$.

### 12.8: 円の中心

3. 円とその円の中心に焦点をもつ楕円は長軸の部分での み接する.

### 12.9: nge-Lenz ベクトル <Badge type="tip" text="supplemental" />

4. Runge-Lenz ベクトル（楕円率ベクトル）[訳者注：こ のベクトルはむしろ離心率と関係する.そこでここで は離心率ベクトルとして知られるベクトルを代わりに 記す.これは焦点から近日点に向かう向きで，大きさ が離心率 $e$ に一致する.]：
    $$
    \boldsymbol{e}=\frac{\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{M}}{G M m}-\boldsymbol{e}_r=\text { const. }
    $$
