# Formulas for IPhO 日本語版: Section 7 | Toshiki's Note
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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 7 ​

Author:Anda Toshiki
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## 7: 波動光学 ​

### 7.1: Huygens の原理に基づいた回折 ​

1. Huygens の原理に基づいた回折 : 障害物が波面を切断 すると波面は小さな断片に分割され，それが仮想的な 点波源となり，観測点での波の振幅はこれらの波源か らの寄与の重ね合わせとなる.

### 7.2: 二重スリット ​

2. 二重スリット（幅は d≪a,λ)d \ll a, \lambda)d≪a,λ) による干渉:強 め合う角 φmax⁡=arcsin⁡(nλ/d),n∈Z.I∝\varphi_{\max }=\arcsin (n \lambda / d), n \in \mathbb{Z} . I \proptoφmax​=arcsin(nλ/d),n∈Z.I∝ cos⁡2(k a 2 sin⁡φ),(k=2 π/λ)\cos ^2\left(k \frac{a}{2} \sin \varphi\right),(k=2 \pi / \lambda)cos2(k2a​sinφ),(k=2π/λ)

### 7.3: 単スリット-弱め合う角 ​

3. 単スリット:弱め合う角: φ min =arcsin⁡(nλ/d),n∈\varphi_{\text {min }}=\arcsin (n \lambda / d), n \inφmin ​=arcsin(nλ/d),n∈ Z,n≠0\mathbb{Z}, n \neq 0Z,n=0. 中央の強め合う部分は n=±1 n=\pm 1n=±1 の間である ことに注意せよ. I∝sin⁡2(k d 2 sin⁡φ)/sin⁡φ I \propto \sin ^2\left(k \frac{d}{2} \sin \varphi\right) / \sin \varphiI∝sin2(k2d​sinφ)/sinφ

### 7.4: 回折格子 ​

4. 回折格子：主な強め合う角はポイント 2 と同じで, 主 な強め合う角の幅は d dd を回折格子の正味の長さとすれ ばポイント 3 と同じ. n nn 番目の明線のスペクトルの分 解能は，溝の総数を N NN 本として λ Δλ=nN\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=n NΔλλ​=nN.

### 7.5: 分光器の分解能 ​

5. 分光器の分解能 : 最短の光線と最長の光線の光学距離 の差を L LL として, λ Δλ=Lλ\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=\frac{L}{\lambda}Δλλ​=λL​.

### 7.6: プリズムの分解能 ​

7. プリズムの分解能 :λ Δλ=a dn d λ: \frac{\lambda}{\Delta \lambda}=a \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{~d} \lambda}:Δλλ​=a dλdn​

### 7.7: 角度距離 ​

7. 理想的な望遠鏡 (レンズ) で 2 点を解像するときの角度距離 : φ≈1.22 λ/d\varphi \approx 1.22 \lambda / dφ≈1.22λ/d. この角度では, 一方の点の中 心が他方の点の最初の回折最小值に当たる.

### 7.8: Bragg の法則 ​

8. Bragg の法則：間隔が d dd の平行な結晶面の組は, 2 dsin⁡θ=nλ 2 d \sin \theta=n \lambda2dsinθ=nλ ならば X\mathrm{X}X 線を反射する. ここで θ\thetaθ は結 晶面と X 線がなす角 (かすめ角).

### 7.9: 高密度電体媒質反射 ​

9. 光学的に高密度な誘電体媒質による反射 : 位相が π\piπ ず れる. 半透明の薄膜では ϕ→+ϕ←=π\phi_{\rightarrow}+\phi_{\leftarrow}=\piϕ→​+ϕ←​=π. ここで ϕ→\phi_{\rightarrow}ϕ→​ と ϕ←\phi_{\leftarrow}ϕ←​ は反射波と透過波の位相差（矢印は入射方向を 示す)

### 7.10: Fabry-Pérot 干渉計 ​

10. Fabry-Pérot 干渉計 : 高い反射率 r(1−r≪1)r(1-r \ll 1)r(1−r≪1) を持 つ 2 枚の平行な半透明の鏡. 分解能は ν Δν≈2 aλ(1−r)\frac{\nu}{\Delta \nu} \approx \frac{2 a}{\lambda(1-r)}Δνν​≈λ(1−r)2a​. 5 つの平面波 (干渉計の前で左右に進む波, 内部を左右 に進む波，後ろを進む波）を設定して境界条件を課す ことで，透過スペクトルを求められる.

### 7.11: コヒーレントな電磁波 ​

11. コヒーレントな電磁波: 電場をベクトル为で表し, ベク トル間の角度を位相差とする. 屈折率が n=n(ω)=n=n(\omega)=n=n(ω)= ε(ω)\sqrt{\varepsilon(\omega)}ε(ω)
    ​ (普通 μ≈1\mu \approx 1μ≈1 ) であることに注意せよ. エネ ルギー流密度（単位面積を通過する単位時間あたりの エネルギー）: I=cn ε 0 E 2=c n μ 0 B 2(E I=c n \varepsilon_0 E^2=\frac{c}{n \mu_0} B^2(EI=cnε0​E2=nμ0​c​B2(E と B BB は実 効值)

### 7.12: Malus の法則 ​

12. Malus の法則 : 直線偏光が角度 φ\varphiφ で偏光板を通過する と I=I 0 cos⁡2 φ I=I_0 \cos ^2 \varphiI=I0​cos2φ

### 7.13: 1/4 波長版 ​

13. 1/4 1 / 41/4 波長版 : 直線偏光成分間の位相が π/2\pi / 2π/2 ずれる.

### 7.14: Brewster 角 ​

14. Brewster 角: 入射角が tan⁡φ=n\tan \varphi=ntanφ=n を満たすとき, 反 射波と屈折波が垂直になり反射波は直線偏光となる.

### 7.15: 光学素子による回折 ​

15. 光学素子による回折 : レンズやプリズムなどを通る光 の光学距離を計算する必要はなく, 図形的に考える. 例えば，双プリズムは二重スリットによる回折と同じ 回折をする.

### 7.16: 光ファイバー ​

17. 光ファイバー：Mach-Zehnder 干渉計は二重スリッ トによる干渉と, 円形共振器は Fabry-Pérot 干渉計 と似ている. Bragg フィルターは X\mathrm{X}X 線の場合と同 じように働く. シングルモードの光ファイバーでは, Δn/n≈12(λ/d)2\Delta n / n \approx \frac{1}{2}(\lambda / d)^2Δn/n≈21​(λ/d)2.