# Formulas for IPhO 日本語版: Section 4 | Toshiki's Note
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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 4 ​

Author:Anda Toshiki
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## 4: 力学 ​

### 4.1: 剛体の二次元的な平衡 ​

1. 剛体の二次元的な平衡 : 力についての 2 つの式とトル クについての 1 つの式. 1 （又は 2 ）個の力についての 式は 1（又は 2）個のトルクについての式で代用でき る. トルクの方が良い場合が多く，原点を適切に選択 することで「退屈な」力を消すことができる. もし 2 点 のみに力がかかっているならば，（正味の）力がかかっ ている直線は一致する. 3 点であれば, 3 つの直線は 1 点で交わる.

### 4.2: 垂直抗力 ​

2. 垂直抗力と摩擦力は 1 つの力に合成でき, 垂直抗力に 対して arctan⁡μ\arctan \muarctanμ の角度で接触点に加わる.

### 4.3: 並進運動と回転運動 ​

3. 並進運動と回転運動についての Newton の第二法則：

   F=ma,M=Iε(M=r×F)\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}, \boldsymbol{M}=I \boldsymbol{\varepsilon} \quad(\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}) F=ma,M=Iε(M=r×F)

   二次元の場合には M MM と ε\varepsilonε は本質的にスカラーで, M=Fl=Ft r(l M=F l=F_t r(lM=Fl=Ft​r(l は力のうでの長さ )))

### 4.4: 一般化座標 ​

4. 一般化座標. 系の状態が 1 つの変数 ξ\xiξ とその時間微分 ξ˙\dot{\xi}ξ˙​ で表され，ポテンシャルエネルギーが U=U(ξ)U=U(\xi)U=U(ξ), 運動エネルギーが K=μ ξ 2/2 K=\mu \xi^2 / 2K=μξ2/2 であるならば, μ ξ¨=\mu \ddot{\xi}=μξ¨​= −dU(ξ)/dξ-\mathrm{d} U(\xi) / \mathrm{d} \xi−dU(ξ)/dξ. (したがって並進運動では, 力はポテン シャルエネルギーの微分)

### 4.5: 系質点 ​

5. 系が質点 mi m_imi​ で構成されているとき：

   rc=∑miri/∑mj,P=∑mivi L=∑miri×vi,K=∑mi vi 2/2 Iz=∑mi(xi 2+yi 2)=∫(x 2+y 2)dm\begin{aligned} & \boldsymbol{r}_c=\sum m_i \boldsymbol{r}_i / \sum m_j, \boldsymbol{P}=\sum m_i \boldsymbol{v}_i \\ & \boldsymbol{L}=\sum m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{v}_i, K=\sum m_i v_i^2 / 2 \\ & I_z=\sum m_i\left(x_i^2+y_i^2\right)=\int\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} m \\ & \end{aligned} ​rc​=∑mi​ri​/∑mj​,P=∑mi​vi​L=∑mi​ri​×vi​,K=∑mi​vi2​/2Iz​=∑mi​(xi2​+yi2​)=∫(x2+y2)dm​

### 4.6: 質量中心の速度 ​

6. 質量中心の速度が vc\boldsymbol{v}_cvc​ であるような系 (添え字 c cc は質量 中心についての物理量であることを示す）:

   L=Lc+MΣRc×vc,K=Kc+MΣ vc 2/2P=Pc+MΣvc.\begin{gathered} \boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}_c+M_{\Sigma} \boldsymbol{R}_c \times \boldsymbol{v}_c, K=K_c+M_{\Sigma} v_c^2 / 2 \\ \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}_c+M_{\Sigma} \boldsymbol{v}_c . \end{gathered} L=Lc​+MΣ​Rc​×vc​,K=Kc​+MΣ​vc2​/2P=Pc​+MΣ​vc​.​

### 4.7: Steiner 定理 ​

7. Steiner の定理（平行軸の定理）も同じような形で は質量中心の回転軸からの距離）:

   I=Ic+m b 2 I=I_c+m b^2 I=Ic​+mb2

### 4.8: ポイント 6 ​

8. ポイント 6 の P\boldsymbol{P}P と L\boldsymbol{L}L を用いて, Newton の第二法則 :

   FΣ=dP/dt,MΣ=dL/dt\boldsymbol{F}_{\Sigma}=\mathrm{d} \boldsymbol{P} / \mathrm{d} t, \boldsymbol{M}_{\Sigma}=\mathrm{d} \boldsymbol{L} / \mathrm{d} t FΣ​=dP/dt,MΣ​=dL/dt

### 4.9: ポイント 5 ​

9. ポイント 5 にに加えて，質量中心を通る z zz 軸に対する慣性モ一メントは I z 0=I_{z 0}=Iz0​= ∑i,jmimj[(xi−xj)2+(yi−yj)2]/(2 MΣ)\sum_{i, j} m_i m_j\left[\left(x_i-x_j\right)^2+\left(y_i-y_j\right)^2\right] /\left(2 M_{\Sigma}\right)∑i,j​mi​mj​[(xi​−xj​)2+(yi​−yj​)2]/(2MΣ​)

### 4.10: 原点に対する慣性 ​

10. 原点に対する慣性モ一メント θ=∑mi ri 2\theta=\sum m_i r_i^2θ=∑mi​ri2​ は, 2 θ=Ix+Iy+Iz 2 \theta=I_x+I_y+I_z2θ=Ix​+Iy​+Iz​ を用いることで二次元物体や等 方性のある物体の Iz I_zIz​ を計算するのに有用.

### 4.11: 相当単振子の長 ​

11. 相当単振子の長さが l~\tilde{l}l~ である物理振子 :

    ω 2(l)=g/(l+Ic/ml)ω(l)=ω(l~−l)=g/l~,l~=l+Ic/ml\begin{aligned} & \omega^2(l)=g /\left(l+I_c / m l\right) \\ & \omega(l)=\omega(\tilde{l}-l)=\sqrt{g / \tilde{l}}, \quad \tilde{l}=l+I_c / m l \\ & \end{aligned} ​ω2(l)=g/(l+Ic​/ml)ω(l)=ω(l~−l)=g/l~
    ​,l~=l+Ic​/ml​

### 4.12: 慣性モーメントの係数 ​

12. 慣性モーメントの係数 : 円柱 12\frac{1}{2}21​, 球 25\frac{2}{5}52​, 球殼 23\frac{2}{3}32​, 棒 112\frac{1}{12}121​ （端に対しては 13\frac{1}{3}31​ ), 正方形 16\frac{1}{6}61​.

### 4.13: よく使われる保存則 ​

13. よく使われる保存則：エネルギー（弾性衝突，摩擦な し), 運動量（正味の外力なし, 各方向について成立), 角運動量（正味の外トルクなし, 例えば, 外力のうでの 長さが 0 (これが 2 又は 3 点のまわりに成り立てば運 動量保存で代用できる))

### 4.14: 非慣性系における見かけの力 ​

14. 非慣性系における見かけの力 : 慣性力 −ma-m a−ma, 遠心力 m ω 2 R m \omega^2 \boldsymbol{R}mω2R, Coriolis 力 2 mv×Ω 2 m \boldsymbol{v} \times \Omega2mv×Ω (避けた方がよい. 速 度に垂直なので仕事はしない).

### 4.15: 傾いた座標 ​

15. 傾いた座標：斜面上での運動については, 斜面に平行 と垂直な方向に軸をとるのがよい。このとき重力加速 度は x xx 成分と y yy 成分をもつ. 軸は斜交することもある が, v=vxex+vyey\boldsymbol{v}=v_x \boldsymbol{e}_x+v_y \boldsymbol{e}_yv=vx​ex​+vy​ey​ のとき vx v_xvx​ は v\boldsymbol{v}v の x xx 軸への射 影ではない.

### 4.16: 2 つの物体の衝突 ​

16. 2 つの物体の衝突 : 保存されるのは, a) 全運動量, b) 全角運動量，c) 一方の物体の衝突点に関する角運動量, d) 全エネルギー（弾性衝突の場合， 摩擦がある場合 は, 摩擦力に垂直な方向の運動エネルギーが保存される. e) 衝突中に滑りが止まったならば，接触点の最終 速度は接触面上にある. f) 滑りが止まらなかったなら ば, 一方の物体から他方に伝わる運動量は, 接触面の 法線と arctan⁡μ\arctan \muarctanμ の角度をなす.

### 4.17: 剛体のすべての運動 ​

17. 剛体のすべての運動は (物体の各点の速度を見ると) 瞬 間回転中心 C CC まわりの回転として表せる. 物体上の点 P PP の C CC からの距離は P PP の軌跡の曲率半径とは異なる ことに注意せよ.

### 4.18: 紐の張力 ​

18. 紐の張力：重さのある吊り紐では, 張力の水平成分は 一定で垂直成分は下にある紐の重さにより変わる. 滑 らかな面の上の紐による（単位長さあたりの）力は，そ の曲率半径と張力で決まり, N=T/R N=T / RN=T/R. 似た場合と して, 表面張力による圧力は p=2 σ/R p=2 \sigma / Rp=2σ/R. 導出には直 径に沿った圧力を調ベる.

### 4.19: 液体の表面 ​

19. 液体の表面は（表面張力を無視すれば）等ポテンシャ ル面になる. 非圧縮性流体では, w ww をポテンシャルエ ネルギーの体積密度として, p=P 0−w p=P_0-wp=P0​−w.

### 4.20: 非圧縮性流体に対する Bernoulli の法則 ​

20. 非圧縮性流体に対する Bernoulli の法則：

    p+12 ρ v 2+ρϕ= const. p+\frac{1}{2} \rho v^2+\rho \phi=\text { const. } p+21​ρv2+ρϕ= const.

    一様な重力場では ϕ=gh\phi=g hϕ=gh. 比熱が cp[ J/kg]c_p[\mathrm{~J} / \mathrm{kg}]cp​[ J/kg] である気 体では,

    12 v 2+cp T= const. \frac{1}{2} v^2+c_p T=\text { const. } 21​v2+cp​T= const.

### 4.21: 直線的な流線 ​

21. 直線的な流線に沾う運動量の連続性 : p+ρ v 2=p+\rho v^2=p+ρv2= const.

### 4.22: 断熱不変量 ​

22. 断熱不変量 : 振動する系の 1 周期の間のパラメータの 相対的な変化が小さければ，位相空間（ x−p x-px−p 座標で表さ れる）上に書かれるループの面積は非常に高い精度で 保存される.

### 4.23: 安定性 ​

23. 安定性を調ベるには, a) ポテンシャルエネルギー最小 の原理，又は b) 仮想仕事の原理を用いる.

### 4.24: 空間的に有限な運動に対する Virial 定理 ​

24. 空間的に有限な運動に対する Virial 定理：a) もし F∝∣r∣F \propto|\boldsymbol{r}|F∝∣r∣ ならば ⟨K⟩=⟨U⟩\langle K\rangle=\langle U\rangle⟨K⟩=⟨U⟩ (時間平均). b) もし F∝∣r∣−2 F \propto|\boldsymbol{r}|^{-2}F∝∣r∣−2 ならば 2⟨K⟩=−⟨U⟩2\langle K\rangle=-\langle U\rangle2⟨K⟩=−⟨U⟩.

### 4.25: Tsiolkovsky 公式 ​

25. Tsiolkovsky の公式（ロケット）: Δv=uln⁡Mm\Delta v=u \ln \frac{M}{m}Δv=ulnmM​