# Formulas for IPhO 日本語版: Section 5 | Toshiki's Note
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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 5 ​

Author:Anda Toshiki
Updated:a minute ago
Words:525
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## 5. 振動と波 ​

### 5.1: 減衰振動 ​

1. 減衰振動：

   x¨+2 γ x˙+ω 02 x=0(γ<ω)\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_0^2 x=0(\gamma<\omega) x¨+2γx˙+ω02​x=0(γ<ω)

   この方程式の解は ((Section 1: #3)[1#_1-3-定数係数線形微分方程式] 参照) :

   x=x 0 e−γt sin⁡(t ω 02−γ 2−φ 0)x=x_0 e^{-\gamma t} \sin \left(t \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}-\varphi_0\right) x=x0​e−γtsin(tω02​−γ2
   ​−φ0​)

### 5.2: 連成振動の式 ​

2. 連成振動の式 : x¨i=∑ja ijxj\ddot{x}_i=\sum_j a_{i j} x_jx¨i​=∑j​aij​xj​

### 5.3: 連成振動の系 ​

3. N NN 個の連成振動の系は, すべての振動子が同じ振動数 ωi\omega_iωi​ で xj=x j 0 sin⁡(ωi t+φ ij)x_j=x_{j 0} \sin \left(\omega_i t+\varphi_{i j}\right)xj​=xj0​sin(ωi​t+φij​) のように振動するとい う固有モードを N NN 個持つ. 固有振動数 ωi も N\omega_i も Nωi​もN 個持 つ (一致するかもしれない, ωi=ωj\omega_i=\omega_jωi​=ωj​ ). 一般解 (2 N(2 N(2N 個の積分定数 Xi,ϕi X_i, \phi_iXi​,ϕi​ を持つ) は全ての固有振動の重ね 合わせ :

   xj=∑i Xix j 0 sin⁡(ωi t+φ ij+ϕi)x_j=\sum_i X_i x_{j 0} \sin \left(\omega_i t+\varphi_{i j}+\phi_i\right) xj​=i∑​Xi​xj0​sin(ωi​t+φij​+ϕi​)

### 5.4: 一般化座標 ​

4. 一般化座標 ξ\xiξ ((Section 4: #4)[4#_4-4-一般化座標] 参照) で表され K=μ ξ˙2/2 K=\mu \dot{\xi}^2 / 2K=μξ˙​2/2 である系は, ξ=0\xi=0ξ=0 の点で平衡. 小さな振動につ いて U(ξ)≈κ ξ 2/2 U(\xi) \approx \kappa \xi^2 / 2U(ξ)≈κξ2/2 (ここで κ=U′′(0))\left.\kappa=U^{\prime \prime}(0)\right)κ=U′′(0)) であり ω 2=κ/μ\omega^2=\kappa / \muω2=κ/μ.

### 5.5: 波の位相 ​

5. x,t x, tx,t での波の位相は φ=kx−ωt+φ 0\varphi=k x-\omega t+\varphi_0φ=kx−ωt+φ0​ で, k=2 π/λ k=2 \pi / \lambdak=2π/λ は波数. x,t x, tx,t での值は a 0 cos⁡φ=Re⁡a 0 e iφ a_0 \cos \varphi=\operatorname{Re} a_0 e^{i \varphi}a0​cosφ=Rea0​eiφ. 位相速 度は vf=νλ=ω/k v_f=\nu \lambda=\omega / kvf​=νλ=ω/k で， 群速度は vg=dω/dk v_g=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} kvg​=dω/dk.

### 5.6: 線形波 ​

6. 線形波（電磁波, 小振幅の音波や水面波）の場合, どん なパルス波も正弦波の重ね合わせとして表せる. 定常 波は 2 つの逆向きに進む同じ波の合成 :

   e i(kx−ωt)+e i(−kx−ωt)=2 e−iωt cos⁡kt e^{i(k x-\omega t)}+e^{i(-k x-\omega t)}=2 e^{-i \omega t} \cos k t ei(kx−ωt)+ei(−kx−ωt)=2e−iωtcoskt

### 5.7: 気体中の音速 ​

7. 気体中の音速 :

   cs=(∂p/∂ρ)断熱 =γp/ρ=γ v 2‾/3 c_s=\sqrt{(\partial p / \partial \rho)_{\text {断熱 }}}=\sqrt{\gamma p / \rho}=\sqrt{\gamma \overline{v^2} / 3} cs​=(∂p/∂ρ)断熱 ​
   ​=γp/ρ
   ​=γv2/3
   ​

### 5.8: 弾性体中の音速 ​

8. 弾性体中の音速は cs=E/ρ c_s=\sqrt{E / \rho}cs​=E/ρ
   ​.

### 5.9: 浅水波 ​

9. 浅水波 (h≪λ)(h \ll \lambda)(h≪λ) の速さ: v=gh v=\sqrt{g h}v=gh
   ​. 弦の場合： v=T/ρ lin v=\sqrt{T / \rho_{l i n}}v=T/ρlin​
   ​.

### 5.10: Doppler 効果 ​

10. Doppler 効果 : ν=ν 0 1+v∥/cs1−u∥/cs\nu=\nu_0 \frac{1+v_{\|} / c_s}{1-u_{\|} / c_s}ν=ν0​1−u∥​/cs​1+v∥​/cs​​.

### 5.11: Huygens の原理 ​

11. Huygens の原理 : 波面は段階的に構成される. 過去 の波面のすべての点に仮想的な波源を置く. 結果は距 離 Δx=cs Δt\Delta x=c_s \Delta tΔx=cs​Δt で区切られた曲線（ここで Δt\Delta tΔt は時間 間隔， cs c_scs​ は与えられた点の速度). 波は波面に垂直に 進む.