# Formulas for IPhO 日本語版: Section 3 | Toshiki's Note
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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 3 ​

Author:Anda Toshiki
Updated:a minute ago
Words:473
Reading:2 min

## 3: 運動学 ​

### 3.1: 質点 ​

1. 質点または剛体の並進運動の場合（積分 → グラフの下 の面積）：

   v=dxdt,x=∫vdt(x=∫vx d t など )a=dvdt=d 2 xd t 2,v=∫adtt=∫vx−1 d x=∫ax−1 d vx,x=∫vxax d vx\begin{gathered} \boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t}, \boldsymbol{x}=\int \boldsymbol{v} \mathrm{d} t\left(x=\int v_x \mathrm{~d} t \text { など }\right) \\ \boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t^2}, \boldsymbol{v}=\int \boldsymbol{a} \mathrm{d} t \\ t=\int v_x^{-1} \mathrm{~d} x=\int a_x^{-1} \mathrm{~d} v_x, x=\int \frac{v_x}{a_x} \mathrm{~d} v_x \end{gathered} v=dtdx​,x=∫vdt(x=∫vx​ dt など )a=dtdv​=dt2d2x​,v=∫adtt=∫vx−1​ dx=∫ax−1​ dvx​,x=∫ax​vx​​ dvx​​

   もし a aa が定数ならば, これらの積分は簡単に求めるこ とができて, 例えば

   x=v 0 t+a t 2/2=(v 2−v 02)/2 a. x=v_0 t+a t^2 / 2=\left(v^2-v_0^2\right) / 2 a \text {. } x=v0​t+at2/2=(v2−v02​)/2a.

### 3.2: 回転運動 ​

2. 回転運動は, 並進運動と似ていて：

   ω=dφ/dt,ε=dω/dta=τdv/dt+n v 2/R\begin{aligned} \omega & =\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} t, \varepsilon=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t \\ \boldsymbol{a} & =\boldsymbol{\tau} \mathrm{d} v / \mathrm{d} t+\boldsymbol{n} v^2 / R \end{aligned} ωa​=dφ/dt,ε=dω/dt=τdv/dt+nv2/R​

### 3.3: 曲線運動 ​

3. 曲線運動は，ポイント 1 と同じだが，ベクトルは線速 度，加速度，経路長に置き換える.

### 3.4: 剛体の運動 ​

4. 剛体の運動:
   - vA cos⁡α=vB cos⁡β v_A \cos \alpha=v_B \cos \betavA​cosα=vB​cosβ ここで, vA\boldsymbol{v}_AvA​ と vB\boldsymbol{v}_BvB​ は剛体上の点 A AA と B BB の速度, α\alphaα と β\betaβ は vA\boldsymbol{v}_AvA​ と vB\boldsymbol{v}_BvB​ が直線 AB A BAB となす角.
   - 瞬間回転中心 (#質点の軌道 の曲率中心）は, a\boldsymbol{a}a と b\boldsymbol{b}b に下ろした垂線の交点. 又は もし vA,vB⊥AB\boldsymbol{v}_A, \boldsymbol{v}_B \perp A BvA​,vB​⊥AB ならば, vA\boldsymbol{v}_AvA​ と vB\boldsymbol{v}_BvB​ の先端を結ぶ 直線と AB A BAB の交点.

### 3.5: 非慣性系 ​

5. 非慣性系：

   v 2=v 0+v 1,a 2=a 0+a 1+ω 2 R+a Cor ここで, a Cor⊥v 1. もし v 1=0 なら a Cor=0.\begin{array}{r} \quad \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{v}_0+\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{a}_0+\boldsymbol{a}_1+\omega^2 \boldsymbol{R}+\boldsymbol{a}_{C o r} \\ \text { ここで, } \boldsymbol{a}_{C o r} \perp \boldsymbol{v}_1 . \text { もし } \boldsymbol{v}_1=0 \text { なら } \boldsymbol{a}_{C o r}=0 . \end{array} v2​=v0​+v1​,a2​=a0​+a1​+ω2R+aCor​ ここで, aCor​⊥v1​. もし v1​=0 なら aCor​=0.​

### 3.6: 弾道問題 ​

6. 弾道問題：到達可能な範囲は

   y≤v 02/(2 g)−g x 2/(2 v 02)y \leq v_0^2 /(2 g)-g x^2 /\left(2 v_0^2\right) y≤v02​/(2g)−gx2/(2v02​)

   最適な弾道では, 初速度と終速（衝突時の速度）が垂直 になる.

### 3.7: 最短経路 ​

7. 最短経路を求めるには，Fermat と Huygens の原理が 使える.

### 3.8: ベクトル ​

8. ベクトル（速度，加速度）を求めるには，その向きと （場合によっては傾いた）ある軸への射影を求めれば 充分.