# Formulas for IPhO 日本語版: Section 9 | Toshiki's Note
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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 9 ​

Author:Anda Toshiki
Updated:a minute ago
Words:950
Reading:4 min

## 9: 電磁気学 ​

### 9.1: Coulomb の法則 ​

1. F=k q 1q 2/r 2,U=k q 1q 2/r F=k q_1 q_2 / r^2, U=k q_1 q_2 / rF=kq1​q2​/r2,U=kq1​q2​/r で, Kepler の法則が 使える (Section 12 参照).

### 9.2: Gauss の法則 ​

2. Gauss の法則 : ∮B⋅dS=0\oint \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0∮B⋅dS=0,

   ∮εE⋅dS=Q,∮g⋅dS=−4 πGM\oint \varepsilon \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=Q, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-4 \pi G M ∮εE⋅dS=Q,∮g⋅dS=−4πGM

### 9.3: 循環定理 ​

3. 循環定理 :

   ∮E⋅dl=0(=Φ˙),∮B⋅dl μ=I,∮g⋅dl=0\oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0(=\dot{\Phi}), \oint \frac{\boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mu}=I, \oint \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0 ∮E⋅dl=0(=Φ˙),∮μB⋅dl​=I,∮g⋅dl=0

### 9.4: 電流素片により生じる磁束密度 ​

4. 電流素片により生じる磁束密度 :

   dB=μI4 πdl×er r 2.\mathrm{d} \boldsymbol{B}=\frac{\mu I}{4 \pi} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e}_r}{r^2} . dB=4πμI​r2dl×er​​.

   したがって電流 I II が流れる円形回路の中心では B=μ 0 I2 r B=\frac{\mu_0 I}{2 r}B=2rμ0​I​.

### 9.5: ローレンツ力 ​

5. F=e(E+v×B),F=I×Bl\boldsymbol{F}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}), \boldsymbol{F}=\boldsymbol{I} \times \boldsymbol{B} lF=e(E+v×B),F=I×Bl.

### 9.6: Gauss の定理と循環定理より ​

6. Gauss の定理と循環定理より：帯電した導線について E=σ 2 π ε 0 r E=\frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0 r}E=2πε0​rσ​, 電流が流れる導線について B=μ 0 I2 πr B=\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}B=2πrμ0​I​. 帯電した面について E=σ 2 ε 0 E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}E=2ε0​σ​, 電流が流れる面につい て B=μ 0 i 2 B=\frac{\mu_0 i}{2}B=2μ0​i​. 一様に帯電した球殼（又は無限に長い円 筒）の内部で E=0 E=0E=0, 軸に沿って表面に電流が流れる 円筒の内部で B=0 B=0B=0. 密度 ρ\rhoρ で一様に帯電, 又は一様 な電流 i\boldsymbol{i}i が流れる, 球 (d=3)/(d=3) /(d=3)/ 円柱 (d−2)/(d-2) /(d−2)/ 平面 (d=1)(d=1)(d=1) の内部で,

   E=ρ εd r,B=1 μd i×r\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon d} \boldsymbol{r}, \boldsymbol{B}=\frac{1}{\mu d} \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{r} E=εdρ​r,B=μd1​i×r

### 9.7: 長いソレノイド ​

7. 長いソレノイド: 内部で B=μnI B=\mu n IB=μnI, 外部で B=0 B=0B=0. 磁束 Φ=NBS(n=Nl)\Phi=N B S\left(n=\frac{N}{l}\right)Φ=NBS(n=lN​). インダクタンス L=L=L= Φ/I=μ n 2 V\Phi / I=\mu n^2 VΦ/I=μn2V. 短いソレノイド :B∥=μnIΩ4 π(Ω: B_{\|}=\frac{\mu n I \Omega}{4 \pi}(\Omega:B∥​=4πμnIΩ​(Ω は 立体角).

### 9.8: 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する ​

9. 磁場を小型コイルや衝撃検流計で測定する： q=q=q= ∫VR d t=NSΔB/R\int \frac{V}{R} \mathrm{~d} t=N S \Delta B / R∫RV​ dt=NSΔB/R.

### 9.9: 静電場のエネルギー ​

9. 静電場のエネルギー：

   U=k∑i<j qiqj r ij=12∫ϕ(r)dq, d q=ρ(r)dV U=k \sum_{i<j} \frac{q_i q_j}{r_{i j}}=\frac{1}{2} \int \phi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} q, \mathrm{~d} q=\rho(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} V U=ki<j∑​rij​qi​qj​​=21​∫ϕ(r)dq, dq=ρ(r)dV

### 9.10: 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力 ​

10. 一様に帯電した球面や円筒面の各部分の間に働く力 : 帯電による力を静水圧による力に置き換える.

### 9.11: 全ての電荷 ​

12. 全ての電荷が距離 r rr にある場合（例えば，不均一に帯 電した球やリングの中心） ϕϕ=kQ/r\phi \phi=k Q / rϕϕ=kQ/r

### 9.12: 外部電荷 ​

13. 外部電荷によって引き起こされる正味の電荷（又は電 位）を求めるには, 電荷を「出現」させて問題を対称的 にし，重ね合わせの原理を用いる.

### 9.14: 導体 ​

14. 導体は電荷や電場を遮蔽する．例えば，中空の球体の 内部の電荷分布は外から見えない（あたかも Q QQ という 電荷を持った導電性の球があるように見える).

### 9.15: 静電容量 ​

15. 静電容量: C=εS/d C=\varepsilon S / dC=εS/d (平板), 4 πεr 4 \pi \varepsilon r4πεr (球), 2 πεl(ln⁡R/r)−1 2 \pi \varepsilon l(\ln R / r)^{-1}2πεl(lnR/r)−1 (同軸円筒).

### 9.16: 双極子モーメント ​

16. 双極子モーメント：

    pe=∑qiri=qd,pμ=IS\boldsymbol{p}_e=\sum q_i \boldsymbol{r}_i=q \boldsymbol{d}, \boldsymbol{p}_\mu=I \boldsymbol{S} pe​=∑qi​ri​=qd,pμ​=IS

### 9.17: 双極子場 ​

17. 双極子場 : ϕ=kp⋅er/r 2,E,B∝r−3\phi=k \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{e}_r / r^2, E, B \propto r^{-3}ϕ=kp⋅er​/r2,E,B∝r−3

### 9.18: 双極子に働く力 ​

19. 双極子に働く力 : F=(pe⋅E)′,F=(pμ⋅B)′F=\left(\boldsymbol{p}_e \cdot \boldsymbol{E}\right)^{\prime}, F=\left(\boldsymbol{p}_\mu \cdot \boldsymbol{B}\right)^{\prime}F=(pe​⋅E)′,F=(pμ​⋅B)′ [訳 者注 : ここの微分はむしろ grad⁡\operatorname{grad}grad である]. 2 つの双極 子間の相互作用 :F∝r−4: F \propto r^{-4}:F∝r−4.

### 9.19: 磁気双極子としての点電荷 ​

19. 磁気双極子としての点電荷 : pμ∝Φ∝v⊥2/B p_\mu \propto \Phi \propto v_{\perp}^2 / Bpμ​∝Φ∝v⊥2​/B は断熱 不変量 (Section 4: #22 参照).

### 9.20: 鏡像法 ​

20. 鏡像法 : 接地された（磁石の場合は超電導の）平面が鏡 の役割をする. 接地された（又は孤立した）球体の場 は, 球体の内部にある 1 つ（又は 2 つ）の架空の電荷 のつくる場として求められる. 平面導波管（金属板の 間のスリット）内の場は, 電磁平面波の重ね合わせと して求められる.

### 9.21: 一様（電）場中の球 (円柱) の分極 ​

21. 一様（電）場中の球 (円柱) の分極 : (+ρ(+\rho(+ρ と −ρ-\rho−ρ に一 様に帯電した球 (円柱) の重ね合わせで， d∝E d \propto Ed∝E.

### 9.22: 渦電流 ​

22. 渦電流: 電流損失密度 ≈B 2v 2/ρ.1\approx B^2 v^2 / \rho .1≈B2v2/ρ.1 回の通過で与え られる運動量 : Fτ≈B 2a 3 d/ρ F \tau \approx B^2 a^3 d / \rhoFτ≈B2a3d/ρ (ここで d dd は厚さ, a aa は大きさ).