# Formulas for IPhO 日本語版: Section 13 | Toshiki's Note
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# Formulas for IPhO 日本語版: Section 13 ​

Author:Anda Toshiki
Updated:a minute ago
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## 13: 相対性理論 ​

### 13.1:Lorentz 変換 ​

1. Lorentz 変換 (Minkowski 幾何学の 4 次元時空の回 転）(慣性系間の速度が V=V ex):β=V/c,γ=\left.\boldsymbol{V}=V \boldsymbol{e}_x\right): \beta=V / c, \gamma=V=Vex​):β=V/c,γ=

   1/1−β 2 として, c t′=γ(ct−βx),x′=γ(x−βct),y′=y E′/c=γ(E/c−β px),px′=γ(px−βE/c),py′=py ここで, E=m c 2 1−v 2/c 2=m c 2+12 m v 2+⋯px=m vx 1−v 2/c 2, etc. \begin{aligned} & 1 / \sqrt{1-\beta^2} \text { として, } \\ & \qquad c t^{\prime}=\gamma(c t-\beta x), x^{\prime}=\gamma(x-\beta c t), y^{\prime}=y \\ & E^{\prime} / c=\gamma\left(E / c-\beta p_x\right), p_x^{\prime}=\gamma\left(p_x-\beta E / c\right), p_y^{\prime}=p_y \\ & \text { ここで, } \\ & E=\frac{m c^2}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}=m c^2+\frac{1}{2} m v^2+\cdots \\ & p_x=\frac{m v_x}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}, \text { etc. } \end{aligned} ​1/1−β2
   ​ として, ct′=γ(ct−βx),x′=γ(x−βct),y′=yE′/c=γ(E/c−βpx​),px′​=γ(px​−βE/c),py′​=py​ ここで, E=1−v2/c2
   ​mc2​=mc2+21​mv2+⋯px​=1−v2/c2
   ​mvx​​, etc. ​

### 13.2: 4 元ベクトルの長 ​

2. 4 元ベクトルの長さ (スカラー量であり Lorentz 変換 で不変）:

   s 2=(ct)2−x 2−y 2−z 2(mc)2=(E/c)2−px 2−py 2−pz 2\begin{aligned} s^2 & =(c t)^2-x^2-y^2-z^2 \\ (m c)^2 & =(E / c)^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2 \end{aligned} s2(mc)2​=(ct)2−x2−y2−z2=(E/c)2−px2​−py2​−pz2​​

### 13.3: 速度の加算 ​

3. 速度の加算 :

   vx=vx′+V1+vx′V/c 2,vy=vy′γ(1+vx′V/c 2)v_x=\frac{v_x^{\prime}+V}{1+v_x^{\prime} V / c^2}, v_y=\frac{v_y^{\prime}}{\gamma\left(1+v_x^{\prime} V / c^2\right)} vx​=1+vx′​V/c2vx′​+V​,vy​=γ(1+vx′​V/c2)vy′​​

### 13.4: Doppler 効果 ​

4. Doppler 効果 :

   ν=γ(1+βcos⁡θ)ν 0\nu=\gamma(1+\beta \cos \theta) \nu_0 ν=γ(1+βcosθ)ν0​

### 13.5: Minkowski 空間 ​

5. Minkowski 空間は, 時間が虚数（ (tict)(t i c t)(tict) であれば Euclid 空間にすることができる. 回転角 φ\varphiφ に対して, tan⁡φ=v/ic\tan \varphi=v / i ctanφ=v/ic となり, sin⁡φ,cos⁡φ\sin \varphi, \cos \varphisinφ,cosφ を tan⁡φ\tan \varphitanφ で表して Euclid 幾何学の公式を適用する (Lorentz 変換).

### 13.6: 長さの縮み ​

6. 長さの縮み : l′=l 0/γ l^{\prime}=l_0 / \gammal′=l0​/γ.

### 13.7: 時間の遅れ ​

7. 時間の遅れ: t′=t 0 γ t^{\prime}=t_0 \gammat′=t0​γ.

### 13.8: 同時刻の相対性 ​

8. 同時刻の相対性 : Δt=−γvΔx/c 2\Delta t=-\gamma v \Delta x / c^2Δt=−γvΔx/c2.

### 13.9: F=dp/dt ​

9. F=dp/dt(=d dt(γmv))(\boldsymbol{F}=\mathrm{d} \boldsymbol{p} / \mathrm{d} t\left(=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\gamma m \boldsymbol{v})\right)(F=dp/dt(=dtd​(γmv))( ここでの γ=\gamma=γ= 1/1−v 2/c 2)\left.1 / \sqrt{1-v^2 / c^2}\right)1/1−v2/c2
   ​)

### 13.10: 超相対論的極限 ​

10. 超相対論的極限 :v≈c,p≈mc,1−v 1−/1−c 2≈: v \approx c, p \approx m c, \sqrt{1-v 1-/ 1-c^2} \approx:v≈c,p≈mc,1−v1−/1−c2
    ​≈ 2(1−v/c)\sqrt{2(1-v / c)}2(1−v/c)
    ​

### 13.11: 電場と磁場の Lorentz 変換 ​

11. 電場と磁場の Lorentz 変換 : E∥′=E∥,B∥′=B∥\boldsymbol{E}_{\|}^{\prime}=\boldsymbol{E}_{\|}, \boldsymbol{B}_{\|}^{\prime}=\boldsymbol{B}_{\|}E∥′​=E∥​,B∥′​=B∥​,

    E⊥′/c=γ(E⊥/c+v/c×B⊥),B⊥′=γ(B⊥−v/c×E⊥/c)\begin{gathered} \boldsymbol{E}_{\perp}^{\prime} / c=\gamma\left(\boldsymbol{E}_{\perp} / c+\boldsymbol{v} / c \times \boldsymbol{B}_{\perp}\right), \\ \boldsymbol{B}_{\perp}^{\prime}=\gamma\left(\boldsymbol{B}_{\perp}-\boldsymbol{v} / c \times \boldsymbol{E}_{\perp} / c\right) \end{gathered} E⊥′​/c=γ(E⊥​/c+v/c×B⊥​),B⊥′​=γ(B⊥​−v/c×E⊥​/c)​